热门试卷

证明：（1）（1）证明：取BC的中点E，连结AE、AP、PC，

∵CD⊥平面ABC，DC∥AN，

∴AN⊥平面ABC，∴AN⊥BC，

又∵P为BD的中点，

∴PE∥CD∥AN，即PE⊥BC，

∵AB=AC=BC，E为BC中点，

∴AE⊥BC，

∴BC⊥平面AEP，

∴AP⊥BC；

（II）解：以C为原点，建立空间直角坐标系如图，

∵CD=2AN=4，又AB=AC=BC=2，

∴C（0，0，0），A（2，0，0），B（1，，0），

D（0，0，4），N（2，0，2），

则=（1，，0），=（2，0，0），=（-1，-，4），

设t=，则P（1-t，-t，4t），0＜t＜1

∴=（-1-t，-t，4t-2），=（1-t，-t，4t）

B，D中点为（，，2），在面ABC的射影E（，，0），=（，，0）为面BCP的向量，

面ACP的法向量为；=（x1，y1，z1），

得出=（0，4，），

∵|cos＜，＞|=||=，t=，

∴=（-，，0），p（，，2），

设面ABD的法向量为；=（x2，y2，z2），=（-1，，0），=（-1，-，4），

即得出=（，1，），=-，||=，||=，

∵cos＜，＞==

∴直线PN与平面ABD所成角的正弦值：sinα=|cos＜，＞|=

（1）证明：∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2．

∴△ABC≌△ABD，BC=BD．

取CD的中点M，连接AM，BM，则CD⊥AM，CD⊥BM，

又AM∩BM=M，∴CD⊥平面ABM，

∴AB⊥CD．

（2）解：过点A作AO⊥BM于点O，∵CD⊥平面ABM，

∴平面BCD⊥平面ABM，

∴AO⊥平面BCD，

∴∠ABO是AB与平面BCD所成角．

在△ABC中，BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos∠BAC=7，

∴BC=．

∵△ACD是等边三角形，∴AM=．

在RT△BCM中，=．

在△ABM中，由余弦定理可得：cos∠ABM==．

解：（1）依题意得，AD⊥平面CPD，AD=DD1=2，

所以三棱锥A-CPD1的体积为×2=，

CP=1，

（2）以A为原点，AB，AD，AA1，所在直线分别为x，y，z轴，建立坐标系，

A（0，0，0），D（0，2，0），P（1.2，0），D1（0，2，2），

=（0，2，0），=（1，2，0），=（0，2，2），

设平面APD1的一个法向量为=（x，y，z），

则

∴得出

∴=（2，-1，1），

即sinθ===，

故直线AD与平面APD1所成的角θ的正弦值为．

（3）∵M点的位置为A1B1中点，

可知C1（2，2，2），M（1，0，2），=（-1，-2，0），

∴平面APD1的一个法向量为=（2，-1，1），

∴=0，

∵C1M⊄平面APD1，

∴C1M∥平面APD1

（1）证明：∵E为CD的中点，BC=1，ABCD为菱形，

∴CE=，又∠BCD=60°，

∴∠BEC=90°，

∴BE⊥AB，又PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BE，

∵PA⊂面PAB，AB⊂面PAB，PA∩AB=A，

∴BE⊥面PAB，

∵BE⊂面PBE，

∴面PBE⊥面PAB．   

（2）解：过B点作BF⊥AD于F，过F作FM⊥PD于M，连接BM

∵BF⊥AD，BF⊥PA，

∴BF⊥面PAD，

∵BM为面PAD的斜线，MF为BM在面PAD的射影，

∴BM⊥PD，

∴∠BMF为二面角B-PD-A的平面角，

PC与面ABCD成角60°，∠PCA=60°，PA=3，BF=，MF=，

∴，

所以二面角B-PD-A为arctan．

（Ⅰ）证明：∵PE⊥平面ABCD，BE⊥平面PAD，

∴PE⊥AD，BE⊥AD，

∵PE∩BE=E，

∴AD⊥平面PEB，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD∥BC，

∴BC⊥平面PEB；

（Ⅱ）解：以E为原点，建立如图所示的坐标系，则

不妨设菱形ABCD的边长为2，则．

则点.．

设平面PDC的法向量为=（x，y，z）．

则由解得

不妨令z=1，得=（-，-1，1），

又，

所以EF与平面PDC所成角的正弦值为||=．…（9分）

（1）证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，

又∵∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC．

∵AP∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．

∵BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．

（2）解：如图，过A作AH⊥PC于H，

∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，

∵PC∩BC=C，

∴AH⊥平面PBC，则∠ABH即是要求的角．

∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA即是PC与平面ABC所成角，

∴tan∠PCA==，

又PC=2，∴AC=，

∴在直角△PAC中，AH=

在直角△ABH中，sin∠ABH=，

即AB与平面PBC所成角正弦值为．

解：（Ⅰ）显然x＞1，连接AQ．

∵平面ABCD⊥平面ADQP，PA⊥AD，

∴PA⊥平面ABCD，PA⊥DQ，

又PQ⊥DQ，

∴DQ⊥面PAQ，AQ⊂面PAQ，

∴AQ⊥DQ，AD=y2-x2．

∵Rt△ABQ∽Rt△QCD，，

∴，即，

∴．

（Ⅱ） ，

当且仅当即时取等号．

此时CQ=1，即Q是BC的中点．于是由DQ⊥平面PAQ知平面PDQ⊥平面PAQ，PQ是其交线，则过A作AE⊥平面PDQ，

∴∠ADQ就是AD与平面PDQ所成的角．

由已知得，PQ=AD=2，

∴AE=1，，∠ADE=30°，

即AD与平面PDQ所成的角为300．

（Ⅲ）设三棱锥P-ADQ的内切球半径为r，设该小球的球心为O，连接OA，OP，OQ，OD则三棱锥被分成了四个小三棱锥，且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r

∴

∵，，S△PAQ=1，，S△ADQ=1，

∴．

解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．

则A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），，．

∴，，．

设平面BEB1的法向量为，

则，即，取y=2，则x=-1，z=0．

∴，

设AF与平面BEB1所成的角为θ，．

则===，

∴=．

（2）由（1）可得平面BEB1的法向量，．

∴点A到面BEB1的距离d===．