热门试卷

解：（1）∵A1B1C1-ABC为直三棱住，

∴CC1⊥底面ABC，结合BC⊂底面ABC，可得CC1⊥BC

∵AC⊥CB，AC、CC1是平面A1C1CA内的相交直线

∴BC⊥平面A1C1CA…（2分）

可得BC长即为B点到平面A1C1CA的距离

结合BC=2可得点B到平面A1C1CA的距离为2…（4分）

（2）∵A1B1C1-ABC为直三棱住，C1C=CB=CA=2，

AC⊥CB，D、E分别为C1C、B1C1的中点

∴分别以AB、CA、CC1为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

得C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），

B1（2，0，2），A1（0，2，2），D（0，0，1），E（1，0，2）…（6分）

∴

设平面A1BD的法向量为=（1，λ，μ）

可得，即，解之得λ=-1、μ=2

∴=（1，-1，2）…（8分）

又∵=（1，0，0）是平面ACC1A1的一个法向量，

∴由，可得二面角B-A1D-A的大小为…（10分）

（3）在线段AC上存在一点F，设F（0，y，0）使得EF⊥平面A1BD…（11分）

根据（2）的结论可知，当且仅当∥时EF⊥平面A1BD，…（12分）

∵，可得y=1…（13分）

∴存在唯一的一个点F（0，1，0），即AC中点满足条件

综上所述，存在线段AC的中点F，使得EF⊥平面A1BD…（14分）

（ I）证明：因为A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面A1AC，

所以二面角A1-AC-B为直二面角，BC⊥AC，

所以BC⊥平面ACC1A1，----------（2分）

所以BC⊥AC1，

平行四边形ACC1A1中，AC=CC1=2，

所以ACC1A1为菱形，所以A1C⊥AC1，------（4分）

所以AC1⊥平面CBA1，----------（6分）

而A1B⊂平面CBA1，

所以AC1⊥A1B．------------（7分）

（ II）（解法一）由于A1D⊥平面ABC，

所以∠A1AD即为直线AA1与平面ABC所成的角，故∠A1AD=60°，------------------（9分）

作DK⊥AB于K，连结A1K，则A1K⊥AB，所以∠A1KD即为二面角A1-AB-C的平面角，--------------（11分）

Rt△A1AD中，--------（12分）

Rt△AKD中，------（13分）

Rt△A1KD中，=，---------（14分）

所以

即二面角A1-AB-C的平面角的余弦值为-------------（15分）

（解法二）由于A1D⊥平面ABC，

所以∠A1AD即为直线AA1与平面ABC所成的角，故∠A1AD=60°，AD=DC=1，--------------（9分）

在平面ABC内，过点D作AC的垂线Dy，则Dy，DA，DA1两两垂直，建立空间直角坐标系如图，

则A（1，0，0），B（-1，1，0），--------（11分）

所以，，平面A1AB的一个法向量为

平面ABC的一个法向量为-------（13分）

所以---------------------（14分）

即二面角A1-AB-C的平面角的余弦值为-------------（15分）

（1）证明：如图，

∵AB∥DC，且AB⊄平面PCD，DC⊂平面PCD．

∴AB∥平面PCD；

（2）证明：在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形．

∴AE=DC=1，又AB=2，∴BE=1，在Rt△BEC中，∠ABC=45°，

∴CE=BE=1，CB=．

∴AD=CE=1，

则，AC2+BC2=AB2．

∴BC⊥AC．

又∵PA⊥平面，∴PA⊥BC，

又PA∩AC=A．

所以BC⊥平面PAC．

（3）解：以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（1，0，0）．

∴，．

设为平面PAC的一个法向量，

由，得，取b=-1，得a=1．

所以．

设为平面PCD的一个法向量，

由，得，取f=1，得d=1，e=0．

所以．

所以二面角A-PC-D的平面角α的正弦值=．

解：（1）证明：AB=AC=2，BC=2；

∴AB⊥AC；

CD∥AB；

∴CD⊥AC；

PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD；

∴PA⊥CD，即CD⊥PA，AC∩PA=A；

∴CD⊥平面PAC；

（2）如图以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系；

则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（-2，2，0）；

因为M是棱PD的中点；

所以M（-1，1，1）；

∴，；

设为平面MAB的法向量；

∴；

∴，令y=1，则；

∵N是在棱AB上一点，∴设N（x，0，0），（0≤x≤2），；

设直线CN与平面MAB所成角为α；

因为平面MAB的法向量；

所以sinα===；

解得x=1，或-1（舍去）；

∴AN=1，NB=1；

所以 ．

解：（I）如图，连接AC

∵在菱形ABCD中，∠ADC=60°，E是线段CD的中点

∴CD⊥AE

又∵SA=AB=2，SB=2

∴SA2+AB2=8=SB2，可得SA⊥AB．同理得到SA⊥AD

∵AB、AD是平面ABCD内的相交直线

∴SA⊥平面ABCD

又∵CD⊂平面ABCD，∴SA⊥CD

∵CD⊥AE，AE、SA是平面SAE内的相交直线

∴CD⊥平面SAE

（II）取BC的中点F，连接AF、SF

由（I）的证明过程，类似地可得AF⊥BC且SF⊥BC

∴∠SFA为二面角S-BC-A的平面角

∵Rt△ASF中，AF=，SA=2

∴tan∠SFA==

即侧面SBC和底面ABCD所成二面角的正切值为．

（1）证明：∵N是BC的中点，故AN⊥BC，AN⊥AD，以AN，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PA=a

则

∴…（1分）

，，即MN⊥AC

（2）解：平面NAC的法向量为n1=（0，0，1），设平面MAC的法向量为n2=（x0，y0，z0）

∵PA=a=1，

∴，，而

∴由得

∴平面MAC的法向量可取n2=（-1，，）  

设二面角M-AC-N的大小为θ，则，

∴θ=300

解：（1）以点B为坐标原点，平面ABC为xOy平面，BC，BA方向分别为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系．则B（0，0，0），C（3，0，0），A（0，4，0）．

在矩形ABCD中，作DH⊥AC于H，HM⊥BC于M，HN⊥AB于N，则H即为D1在平面ABC上的射影．

∵AB=4，AD=3，∴AC=5，，，…（6分）

∴，，

所以．      …（10分）

（2）设平面D1BC的法向量为，，

∵，，∴∴．

设平面D1BA的法向量为，

∵，，

∴，∴．…（14分）

∴，

∴．…（16分）