热门试卷

（Ⅰ）证明：如图，

∵点P在平面ABC上的射影是AC的中点，

∴PD⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，

∴PD⊥BC，

∵BC=2AC=8，AB=4，

∴AB2=AC2+BC2，

故AC⊥BC．

又AC∩PD=D，

BC⊥平面PAC，BC⊂平面PBC，

∴平面PBC⊥平面PAC；

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，8，0），P（2，0，2），

，．

设平面PAB的法向量为，

由，得，

取y1=1，则，

∴．

设平面PBC的一个法向量为，

由，得，

取y2=0，得，

∴．

∴．

∴二面角A-PB-C的平面角的余弦值为．

解：（Ⅰ）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．

∵三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．∴BC⊥CC1，

∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1．

∵A1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，而BC∥B1C1，则B1C1⊥A1D．

在Rt△ACC1与Rt△DC1A1中，，∴△ACC1～△DC1A1，

∴∠AC1C=∠DA1C1．∴∠AC1C+∠C1DA1=90°．即A1D⊥AC1．

∵B1C1∩AC1=C1，∴A1D⊥平面AB1C1．

（Ⅱ）如图，设A1D∩AC1=H，过A1作AB1的垂线，垂足为G，连GH，

∵A1D⊥平面AB1C1，∴AB1⊥A1D，∴AB1⊥平面A1GH∴∠A1GH为二面角A1-AB1-C1的平面角．

在Rt△AA1B1中，，A1B1=2，∴，∴；

在Rt△AA1C1中，，，∴AC1=3，∴．

∴在Rt△A1GH中，，．

故锐二面角A1-AB1-C1的余弦值为．

即平面A1B1A与平面AB1C1所成的锐二面角的余弦值为．

（1）证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A1（0，0，1），

B1（1，0，1），M（0，1，），N（，0），，

（1）解：∵，∴

∴无论λ取何值，AM⊥PN…（4分）

（2）解：∵=（0，0，1）是平面ABC的一个法向量．

∴sinθ=|cos＜|=

而θ∈[0，]，当θ最大时，sinθ最大，tanθ最大，θ=除外，

∴当λ=时，θ取得最大值，此时sinθ=，cosθ=，tanθ=2  …（8分）

（3）假设存在，则，设是平面PMN的一个法向量．

则得令x=3，得y=1+2λ，z=2-2λ

∴

∴|cos＜＞|=化简得4λ2+10λ+13=0（*）

∵△=100-4×4×13=-108＜0

∴方程（*）无解

∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°…（13分）

（Ⅰ）证明：取AB的中点M，连接GM，MC，G为BF的中点，所以GM∥FA，

又EC⊥面ABCD，FA⊥面ABCD，

∴CE∥AF，

∴CE∥GM，

∵面CEGM∩面ABCD=CM，EG∥面ABCD，

∴EG∥CM，

∵在正三角形ABC中，CM⊥AB，又AF⊥CM

∴EG⊥AB，EG⊥AF，

∴EG⊥面ABF．

（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，设AB=2，则B（，0，0），E（0，1，1），F（0，-1，2）

=（0，-2，1），=（，-1，-1），=（，1，1），

设平面BEF的法向量=（x，y，z）则，∴可取=（，1，2）

同理，可求平面DEF的法向量=（-，1，2）

设所求二面角的平面角为θ，则cosθ=-．

解：（I）取BD的中点P，连接EP，FP，则PF，∵，∴EAPF，

∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，

又∵EP⊂面BDE，AF⊄平面BDE，

∴AF∥面BDE．

（Ⅱ）以CA，CD所在直线分别作为x轴，z轴，以过C点和AB平行的直线作为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由DC=AC=2AE=2，得A（2，0，0），B（2，2，0），E（2，0，1），D（0，0，2），

则，，

∵面ACDE⊥面ABC，面ACDE∩面ABC=AC，

AB⊥AC，∴AB⊥面ACDE，

∴是平面CDE的一个法向量，

设面BDE的一个法向量=（x，y，z），则，

∴，即，

整理，得，

令y=1，则z=2，x=1，∴是平面CDE的一个法向量，

故===，

由图形知二面角B-DE-C的平面角，

所以二面角B-DE-C的余弦值为．

（1）证明：以直线DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0）C（0，4，0），E（0，0，2），M（0，2，1）．

∴--------（2分）

又是平面ADEF的一个法向量．

∵即

∴BM∥平面ADEF------（4分）

（2）解：设M（x，y，z），则，

又

设，即M（0，2，1）．--（6分）

设是平面BDM的一个法向量，则，

取x1=1得 y1=-1，z1=2即

又由题设，是平面ABF的一个法向量，

∴

（1）证明：在三棱锥P-ABC中，

因为M，D，分别为PB，AB的中点，所以MD∥PA，

因为MD⊂平面CMD，PA⊄平面CMD，

所以PA∥平面CMD．

（2）证明：因为M，D，分别为PB，AB的中点，

所以MD∥PA，

因为PA⊥平面ABC所以MD⊥平面ABC，

又SN⊂平面ABC所以MD⊥SN．…（6分）

设PA=1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系．如图所示，

则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），

，

所以，

因为，

所以CM⊥SN．…（9分）

又CM∩MD=M，

所以SN⊥平面CMD．…（10分）

（3）解：由（2）知，是平面CMD的一个法向量，

设平面MCN的法向量，则，

即，

所以，令，

所以，

从而，

因为二面角D-MC-N为锐角．

所以二面角D-MC-N的大小为．…..（14分）

解：（Ⅰ）∵PA=4，AC=2，∠PCA=90°

∴∠PAC=60°．

又∵AE=AC=2，∴△AEC是边长为2的等边三角形．

∵F为AC的中点，∴AC⊥EF…（2分）

又△ABC是边长为2的等边三角形，F为AC的中点，

∴AC⊥BF…（4分）

又∵EF∩BF=F，∴AC⊥平面BEF…（6分）

（Ⅱ）如图，取AB中点F，BF中点G，联结EF，EG．

由（Ⅰ）可知，，

所以EG⊥BF，

所以EG⊥平面ABC．

如图建立空间直角坐标系G-xyz，则.，，，，…（8分）

所以，，

所以平面ABP的法向量为…（11分）

所以，，

所以平面CBP的法向量为…（13分）

所以平面ABP…（15分）

即平面ABP与平面CBP所成角的余弦值为．