热门试卷

（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：如图，连接CO，AC，

则四边形ABCO为正方形，

∴OC=AB=A1B1，且OC∥AB∥A1B1

∴四边形A1B1CO为平行四边形，

∴A1O∥B1C，

又∵A1O⊄平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，

∴A1O∥平面AB1C．…（6分）

（Ⅱ）∵D1A=D1D，O为AD的中点，

∴D1O⊥AD，又侧面ADD1A1⊥底面ABCD，

∴D1O⊥底面ABCD，…（7分）

以O为原点，OC，OD，OD1所在直线分别为x轴，y轴，Z轴，

建立如图所示的坐标系，

由题意得：C（1，0，0），D（0，1，0），

D1（0，0，1），A（0，-1，0），…（8分）

∴，=（0，-1，1），

=（0，-1，-1），=（1，-1，0），

设为平面CDD1C1的一个法向量，

则，∴，

令Z=1，则y=1，x=1，∴，…（10分）

设为平面AC1D1的一个法向量，

则，∴，令Z1=1，

则y1=-1，x1=-1，∴，

∴，

∴所求锐二面角A-C1D1-C的余弦值为．…（12分）

解：（1）如图取BD中点M，连接AM，ME．

∵．

∴AM⊥BD

∵DB=2，DC=1，⇒DB2+DC2=BC2，

所以△BCD是BC为斜边的直角三角形，BD⊥DC，

∵E是BC的中点，∴ME为△BCD的中位线，

∴ME⊥BD，，

∴∠AME是二面角A-BD-C的平面角∴∠AME=60°…（3分）

∵AM⊥BD，ME⊥BD且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线，

∴BD⊥平面AEM∵AE⊂平面AEM，

∴BD⊥AE

∵，DB=2，

∴△ABD为等腰直角三角形，

∴，，

∴AE2+ME2=1=AM2，

∴AE⊥ME=M，

∴BD∩ME，BD⊂平面BDC，ME⊂面BDC，

∴AE⊥平面BDC…（6分）

（2）如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系M-xyz，

则由（1）及已知条件可知B（1，0，0），，，D（-1，0，0），C（-1，1，0），，…（8分）

设平面ACD的法向量为

则⇒

…（10分）

解：（1）取AC中点G，连接FG、BG，则FG∥DC∥BE，

当BE=1时，有FG=BE，即BEFG为平行四边形，

故当BE=1时，EF∥BG，且BG⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，

∴EF∥平面ABC；

（2）由（1）知，当EF∥平面ABC时，BE=1，取BC中点O，过O作OZ⊥平面ABC，

如图，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，1，0），E（0，1，1），D（0，-1，2），

平面ABC的法向量为，

设平面ADE法向量为，=（-，-1，2），=（0，2，-1），

由，得，取z=2，则y=1，x=，

∴，

∴cos＜，＞==，则＜＞=45°，

∴平面DAE和平面ABC所成角为45°或135°．

解：（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，因为A1B⊥平面ABC，A1B⊂平面ABB1A1，

所以平面ABB1A1⊥平面ABC，

因为平面ABB1A1∩平面ABC=AB，AB⊥AC，

所以AC⊥平面ABB1A1，所以AC⊥BB1．

（2）如图，建立以A为原点的空间直角坐标系，

则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），

则=（2，-2，0），

设，λ∈[0，1]，

则P（2λ，4-2λ，2），

设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），

因为，，，

即，所以，

令x=1得=（1，0，-λ），

而平面ABA1的一个法向量是=（1，0，0），

则|cos＜，＞|=，

解得，即P为棱B1C1的中点．

解：（1）依题意得EF⊥DE，EF⊥AE，∴EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．

由θ=45°得，，

∴．

（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，

过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连接M1N1，

∵MM1∥AB，NN1∥EF∴MM1∥NN1

又∵，∴MM1=NN1

∴四边形MNN1M1为平行四边形，

∴MN∥N1M1，又MN⊄面BCF，N1M1⊂面BCF，∴MN∥面BCF．

证法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连接NG，则，∴NG∥CF．

又NG⊄面BCF，CF⊂面BCF，∴NG∥面BCF，

同理可证得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF，

∵MN⊂平面MNG，∴MN∥面BCF．

（3）证法一：取CF的中点为Q，连接MQ、NQ，则MQ∥AC，

∴∠NMQ或其补角为异面直线MN与AC所成的角，

∵θ=900且．∴，∴，----

∴．

即MN与AC所成角的余弦值为．

证法二：∵θ=900且．

分别以FE、FB、FC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．，

∴，

所以与AC所成角的余弦值为．

解：由题设可知，以、、为单位正交基底，

建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）

由，得，所以

显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于，则等价于

即（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）2=（λ-1）（3λ-1）＜0，得

因此，λ的取值范围是

解：（Ⅰ）设AC交BD于O，连接OE，

∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，

∵BD⊥AC，∴AC⊥平面PBD，

又∵AC⊆平面AEC，∴平面ACE⊥平面PBD．…（6分）

（Ⅱ）（方法一）∵平面ACE⊥平面PBD，平面ACE∩平面PBD=BD

AO⊥BD

∴AO⊥面PBD，

∵直线AE与平面PBD成角为45°，∴∠AEO=45°，

设，则OE=1，

∴．…（12分）

（方法二）以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，如图 

平面BDE法向量为，

设，，，

令，

则，，

得或λ=1（舍），

∴．…（12分）

解：（1）如图，以D为坐标原点DA、DC、DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则：A（2，0，0），F（1，2，）

B（2，2，0），E（1，1，），C（0，2，0）

∴，

∴=1-2+1=0

所以AF和BE所成的角为90°，

（2）设平面BEC的一个法向量为，又，，

则：

∴x=0，令z=1，则：∴

∴

设直线AF和平面BEC所成角为θ则：

∴

即直线AF和平面BEC所成角的余弦值为