热门试卷

（1）证明1：因为AB=2BC，∠ABC=60°，

在△ABC中，由余弦定理得：

AC2=（2BC）2+BC2-2×2BC•BC•cos60°，

即．…（2分）

所以AC2+BC2=AB2．

所以AC⊥BC．…（3分）

因为AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC⊂平面FBC，

所以AC⊥平面FBC．…（4分）

证明2：因为∠ABC=60°，

设∠BAC=α（0°＜α＜120°），则∠ACB=120°-α．

在△ABC中，由正弦定理，得．…（1分）

因为AB=2BC，所以sin（120°-α）=2sinα．

整理得，所以α=30°．…（2分）

所以AC⊥BC．…（3分）

因为AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC⊂平面FBC，

所以AC⊥平面FBC．…（4分）

（2）解法1：由（1）知，AC⊥平面FBC，FC⊂平面FBC，

所以AC⊥FC．

因为平面CDEF为正方形，所以CD⊥FC．

因为AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）

取AB的中点M，连结MD，ME，

因为ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠DAM=60°，

所以MD=MA=AD．所以△MAD是等边三角形，且ME∥BF．…（7分）

取AD的中点N，连结MN，NE，则MN⊥AD．…（8分）

因为MN⊂平面ABCD，ED∥FC，所以ED⊥MN．

因为AD∩ED=D，所以MN⊥平面ADE． …（9分）

所以∠MEN为直线BF与平面ADE所成角． …（10分）

因为NE⊂平面ADE，所以MN⊥NE．…（11分）

因为，，…（12分）

在Rt△MNE中，．…（13分）

所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为．…（14分）

解法2：由（1）知，AC⊥平面FBC，FC⊂平面FBC，

所以AC⊥FC．

因为平面CDEF为正方形，所以CD⊥FC．

因为AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）

所以CA，CB，CF两两互相垂直，

建立如图的空间直角坐标系C-xyz．…（7分）

因为ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠ABC=60°

所以CB=CD=CF．

不妨设BC=1，则B（0，1，0），F（0，0，1），，，，

所以，，

．…（9分）

设平面ADE的法向量为=（x，y，z），

则有即

取x=1，得=是平面ADE的一个法向量．…（11分）

设直线BF与平面ADE所成的角为θ，

则．…（13分）

所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为．…（14分）

（I）证明：∵面ABC⊥面BCQ

又CQ⊥BC

∴CQ⊥面ABC

∴CQ⊥AB（5分）

（Ⅱ）解：取BC的中点O，BD的中点E，如图以OB所在直线为x轴，以OE所在直线为y轴，以OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．（6分）

不妨设BC=2，则A（0，0，1），D（-1，2，0），P（x，1-x，0），（8分）

由|AP|=|DP|即x2+（1-x）2+1=（x+1）2+（x+1）2，

解得x=0，所以P（0，1，0），（10分）

故=（0，1，-1）

设=（x，y，z）为平面ACQ的一个法向量，

因为=（-1，0，-1），==λ（0，1，0）

由即

所以=（1，0，-1）（12分）

设直线AP与平面ACQ所成的角为α

则Sinα=|cos＜AP，n＞|=

所以α=

即直线AP与平面ACQ所成的角为V（14分）

解：（1）以OC，OA，OS所在直线建立空间直角坐标系O-xyz，则S（0，0，1），C（2，0，0），A（0，1，0），B（1，1，0），所以N（，0，0），M（，，）

∴=（0，-，-），=（1，-1，0）

∴直线MN与BC所成角的余弦值为=

∴直线MN与BC所成角为；

（2）设平面SAB的一个法向量为=（a，b，c）

=（a，b，c）•（1，1，-1）=a+b-c=0

=（a，b，c）•（0，1，-1）=b-c=0

令b=1可得法向量 =（0，1，1）

∵=（0，-，-），

∴直线MN与面SAB所成角的正弦值为||=1

∴直线MN与面SAB所成角为

解：建立如图所示的直角坐标系，不妨设AB=1

则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，3，0），

F（0，0，1），E（0，1，1）

（Ⅰ）

∴异面直线BF与DE所成角的余弦值为．

（Ⅱ）设平面CDE的一个法向量为

∵

∴

令y=1，得x=z=2，∴

设存在点M（p，q，r）满足条件，由得

p=1-λ，q=1，r=λ即M（1-λ，1，λ）

∴=（1-λ，1，λ）

∵直线AM与平面CDE所成角的正弦值为

∴|cos＜＞|=，=，得λ

故当点M为CE中点时，直线AM与平面CDE所成角的正弦值为

（Ⅰ）证明：∵AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD，

又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD，

又∵PD∩BD=D，∴AD⊥平面PBD，

又∵BC∥AD，

∴BC⊥平面PBD，

∵BC⊂平面PBC，

∴平面PBC⊥平面PBD． （6分）

（Ⅱ）如图，分别以DA、DP、DB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），，P（0，0，1），，

∴，，，

设平面PBC的法向量为，则，

解得，

设AP与平面PBC所成角为θ，则． （12分）