热门试卷

（Ⅰ）证明：在△ABD中，

由于AD=4，BD=8，AB=4，所以AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD．

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，

所以BD⊥平面PAD，

又BD⊂平面MBD，

故平面MBD⊥平面PAD

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（4，0，0），P（2，0，2），B（0，8，0）

∴，

设平面PAB的法向量为

由可得，取

同理可得平面PBD的法向量为

∴cos==

∴二面角A-PB-D的余弦值为．

解：（Ⅰ）∵PA=AD=1，PD=，

∴PA2+AD2=PD2，可得△PAD是以PD为斜边的直角三角形

∴PA⊥AD---（2分）

又∵PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，

∴PA⊥平面ABCD-------（4分）

（Ⅱ）过E作EG∥PA 交AD于G，

∵EG∥PA，PA⊥平面ABCD，

∴EG⊥平面ABCD，

∵△PAB中，PE=2ED

∴AG=2GD，EG=PA=，------（5分）

连接BD交AC于O，过G作GH∥OD，交AC于H，连接EH．

∵OD⊥AC，GH∥OD

∴GH⊥AC

∵EG⊥平面ABCD，HG是斜线EH在平面ABCD内的射影，

∴EH⊥AC，可得∠EHG为二面角D-AC-E的平面角．-----（6分）

∴Rt△EGH中，HG=OD=BD=，可得tan∠EHG==．

由同角三角函数的关系，得cos∠EHG==．

∴二面角D-AC-E的平面角的余弦值为-------（8分）

（Ⅲ）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E（0，，），

=（1，1，0），=（0，， ）---（9分）

设平面AEC的法向量=（x，y，z），根据数量积为零，可得

，即：，令y=1，得=（-1，1，-2 ）-------------（10分）

假设侧棱PC上存在一点F，且=λ，（0≤λ≤1），使得：BF∥平面AEC，则⋅=0．

又∵=+=（0，1，0）+（-λ，-λ，λ）=（-λ，1-λ，λ），

∴⋅=λ+1-λ-2λ=0，∴λ=，

所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．----------------（13分）

（1）证明：取AB的中点D，连接PD，

∵PA=PB，D为AB中点，

∴PD⊥AB．

∵D、E分别为AB、AC中点，

∴DE∥BC，

∵BC⊥AB，

∴DE⊥AB，

又∵PD∩DE=D，PD，DE⊂平面PDE

∴AB⊥平面PDE，

∵PE⊂平面PDE，

∴AB⊥PE；

（2）解：AB⊥平面PDE，DE⊥AB，如图，以D为原点建立空间直角坐标系，由PA=PB=AB=2，BC=3，

则B（1，0，0），P（0，0，），E（0，，0），

∴=（1，0，-），=（0，，-）．

设平面PBE的法向量=（x，y，z），则

令z=，得=（3，2，）

∵DE⊥平面PAB，

∴平面PAB的法向量为=（0，1，0），

设平面APB与平面EPB夹角大小为θ，

由图知，cosθ=cos＜，＞==，

∴θ=60°，

即二面角的A-PB-E大小为60°．

解：方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）

（2）取BC的中点N，连MN．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．

作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH．

由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M-AC-B的平面角．

∵直线AM与直线PC所成的角为60°，

∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°．

在△ACN中，．

在Rt△AMN中，．

在Rt△NCH中，．

在Rt△MNH中，∵，∴．

故二面角M-AC-B的余弦值为．（8分）

（3）作NE⊥MH于E．∵AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC，

∴点N到平面MAC的距离为．

∵点N是线段BC的中点，

∴点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为．（12分）

方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC．（2分）

（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．

设P（0，0，z），则．．

∵，

且z＞0，∴，得z=1，∴．

设平面MAC的一个法向量为=（x，y，1），则由

得得∴．

平面ABC的一个法向量为．．

显然，二面角M-AC-B为锐二面角，∴二面角M-AC-B的余弦值为．（8分）

（3）点B到平面MAC的距离．（12分）

证明：（1）设正方体的棱长为a，则，

∵

∴

又∵DE∩DB=D

∴HC1⊥平面EDB．

（2），设与所成的角为θ

∵

∴θ=45°．

由（1）知HC1⊥平面EDB

∴∠C1BH为BC1与平面EDB所成的角

∴∠C1BH=90°-45°=45°

（3）．

证明：（Ⅰ）∵ABC-A1B1C1是直三棱柱

∴四边形ABB1A1为平行四边形

∵AB=B1B，∴平行四边形ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，

又∵AC1⊥面A1BD，∴AC1⊥A1B，∴A1B⊥面AB1C1，…（3分）

∴A1B⊥B1C1，又BB1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面ABB1A．…（6分）

解法一：（Ⅱ）当点E为C1C的中点时DE∥AC1，

∵AC1平面A1BD，

∴DE⊥平面A1BD，

则∠DA1E即为A1E与平面A1BD所成角  …（9分）

在矩形ACC1A1中，由AC1⊥A1D

可知△A1AD≈△ACC1，则，…（11分）

故AB=BC，不妨设AB=2，则，

故A1E与平面A1BD所成角的正弦值为．…（14分）

解法二：在矩形ACC1A1中，由AC1⊥A1D

可知△A1AD≈△ACC1，则，故AB=BC，…（9分）

如图建立空间直角坐标系，不妨设AB=2，则A（2，0，0），A1（2，0，2），C1（0，2，2），E（0，2，1），

可得…（11分）

由题意可知即为平面A1BD的一个法向量，

故A1E与平面A1BD所成角的正弦值为．…（14分）

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．

∵AB⊥AD，AD∩PA=A，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，

∴AB⊥平面PAD．

∵PD⊂平面PAD

∴AB⊥PD，

∵BM⊥PD，AB∩BM=B，AB⊂平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PD⊥平面ABM．

∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD．

（2）解法1：由（1）知，AM⊥PD，又PA=AD，

则M是PD的中点，在Rt△PAD中，

得，在Rt△CDM中，得，

∴．

设点D到平面ACM的距离为h，由VD-ACM=VM-ACD，

得．解得，

设直线CD与平面ACM所成的角为θ，则，

∴．

∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为．

解法2：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz，

则A（0，0，0），P（0，0，2），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），M（0，1，1）．

∴．

设平面ACM的一个法向量为，

由可得：

令z=1，得x=2，y=-1．∴．

设直线CD与平面ACM所成的角为α，则．

∴．∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为．