热门试卷

证明：充分性：

设，

∵AC=CD=DB=1，

∴，

又∵AC⊥l于点C，BD⊥l于D

∴，

∴

∴，

必要性：∵

又，

∴

∴

即α-l-β=120°

解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．

∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=2．

∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．

又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．

∵AC⊂平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC．…（5分）

（Ⅱ）如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，-2，0）．

设P（0，0，2a）（a＞0），则E（1，-1，a），=（2，2，0），=（0，0，2a），=（1，-1，a）．

取=（1，-1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．

设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，

即，取x=a，y=-a，z=-2，则=（a，-a，-2），

依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．   …（10分）

于是n=（2，-2，-2），=（2，2，-4）．

设直线PA与平面EAC所成角为θ，

则sinθ=|cos＜，＞|==，

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…（13分）

解：（Ⅰ） 因为DE⊥平面ABCD，

所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，

所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．

所以DA，DC，DE两两垂直，以D为原点，DA，DC，DE分

别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz如图所示．

因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE=60°，

所以．

由AD=2可知DE=，AF=．

则A（3，0，0），F（3，0.），E（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），

所以，，（8分）

设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即，

令z=，则=（4，2，）．

因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，=（3，-3，0），

所以==．

因为二面角为锐角，所以二面角F-BE-D的余弦值为．（8分）

（Ⅱ）解：点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则，

因为AM∥平面BEF，所以，即4（t-3）+2t=0，解得t=2．

此时，点M坐标为（2，2，0），符合题意．（12分）

解：（I）如图，以D为原点，以DA，DC，DP为方向向量

建立空间直角坐标系D-XYZ

则P（0，0，2），C（0，2，0）G（1，2，0），E（0，1，1），F（0，0，1），A（2，0，0）

∴=（-2，0，2），=（0，-1，0），=（1，1，-1）．

设平面EFG的法向量为=（x，y，z）⊂

∴即∴

 令x=1，

则=（1，0，1）．

∵•=1×（-2）+0×0+1×2=0，

∴

又AP不在平面EFG内，

∴AP∥平面EFG

（II）∵底面ABCD是正方形，∴AD⊥BC

又PD⊥平面ABCD

∴AD⊥PD又PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD．

∴向量是平面PCD的一个法向量，=（2，0，0）

又由（I）知平面EFG的法向量=（1，0，1）．

∴cos＜，＞===．

∴二面角G-EF-D的平面角为45°．

（1）证明：如图，

∵平面ABFE⊥平面ABCD，AD⊥AB，

∴AD⊥平面BAF．

又∵AD⊂面DAF，

∴面DAF⊥面BAF；

（2）解：分别以AD，AB，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立的空间直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（1，0，0）、C（1，2，0）、E（0，0，1）、B（0，2，0）、F（0，1，1）

∵，

设为平面CDFE的一个法向量，则，，令x=1，得z=1，

所以．

由平面ABEF⊥平面ABCD知，AF⊥BC，在△AFB中，，AB=2，BF=，∴AF⊥面FBC．

∴为平面BCF的一个法向量，

∴，

∵二面角B-FC-D的平面角为钝角，

∴钝二面角B-FC-D的大小120°．

（1）证明：取AC中点O，因为AP=BP，所以OP⊥OC  

由已知，可得△ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC，△POA≌△POB≌△POC，∴OP⊥OB

∵OB∩OC=O

∴OP⊥平面ABC，

∵OP⊂平面PAC，∴平面ABC⊥平面APC（4分）

（2）解：以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．

由已知得O（0，0，0），B（2，0，0），A（0，-2，0），

C（0，2，0），P（0，0，），（5分）

∴

设平面PBC的法向量，

由得方程组，取（6分）

∴

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．                             （8分）

（3）解：由题意平面PAC的法向量，

设平面PAM的法向量为，M=（m，n，0）

∵=（0，2），=（m，n+2，0），，

∴

取y=-1，可得=

∴=

∴n+2=m（11分）

∴BM的最小值为垂直距离d=．     （12分）

解：由题知DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A1CD，∴DE⊥A1C

又BC=3，AC=6，DE∥BC，DE=2，∴A1D=4，CD=2

又A1C⊥CD，∴且A1C⊥平面CBED

以、、为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz，

则C（0，0，0），B（3，0，0），D（0，2，0），E（2，2，0），

①设A1E与平面CBED所成角为θ

∵平面CBED的法向量，

∴

∴A1E与平面CBED所成角的正弦值为…（7分）

②平面A1CD的法向量为=（1，0，0），

设平面A1BE的法向量为=（x，y，z）

∵=（3，0，-2），=（-1，2，0）

∴，∴可取=（2，1，）

∴cos＜＞==

∴平面A1CD与平面A1BE所成锐角的余弦值为

③设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]

∴=（0，a，-2），=（2，a，0）

设平面A1DP法向量为=（x1，y1，z1）

则，∴

∴=（-3a，6，a）

假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则•=0，

∴3a+12+3a=0，∴a=-2

∵0＜a＜3

∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．

方法一：

（Ⅰ）证明：设PA=AD=CD=a，

∵AD⊥CD=0，BC=2AD

∴BC=2a

∵BC∥AD且BC⊥CD…（2分）

在Rt△ADC中，，∠ACD=45°

∴△ABC中，∠ACB=45°

由余弦定理AB==a

∴AB2+AC2=BC2

∴∠BAC=90°…（4分）

∵AB是斜线PB在面ABCD内的射影，AC⊥AB，AC⊥PA，PB∩PA=P

故AC⊥平面PAB

又∵PB⊂平面PAB

∴AC⊥PB

（Ⅱ）∵PA⊥面ABCD

∴PA⊥CA

∵CA⊥AB  PA∩PB=A

∴CA⊥面PAB

过点A作AE⊥PB于E，连接CE

则∠AEC即为二面角C-PB-A的平面角α…（9分）

在Rt△PAB中，PB=

∴

在Rt△AEC中，

∵0≤α≤π

∴…（12分）

方法二：

（Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系D-xyz，

设PA=AD=CD=1

∵AD⊥DC，BC=2AD，BC∥AD

∴BC=2且BC⊥CD…（2分）

则A（1，0，0）B（2，1，0），C（0，1，0）P（1，0，1）

∴=（-1，1，0），=（1，1，-1）

∵•=0

∴，

即AC⊥PB…（6分）

（Ⅱ）∵=（1，-1，1）=（1，1，-1）

设平面PBC的一个法向量为

∵⊥，⊥

∴，=0

∴

取=（0，-1，-1）

同理可取平面PAB的一个法向量为=（1，-1，0）

∴

∴二面角C-PB-A为．

（Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

∵，四边形ABCD是矩形．

∴A，B，C，D，P的坐标为A（0，0，0），B（2，0，0），，

又E，F分别是AD，PC的中点，∴，

∴，

∴，（6分）

∴，

又∵BF∩EF=F，∴PC⊥平面BEF（9分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面BEF的法向量，

平面BAP的法向量，∴=8   （12分）

设平面BEF与平面BAP的夹角为θ，

则，

∴θ=45°，∴平面BEF与平面BAP的夹角为45°（15分）