热门试卷

解：（1）∵DB⊥BA，又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，DB⊂面ABDE，

∴DB⊥面ABC，∵BD∥AE，∴EA⊥面ABC，

如图所示，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，

以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

∵AC=BC=4，

∴设各点坐标为C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（4，0，4），

则O（2，0，2），M（2，2，0），=（0，4，2），=（-2，4，0），=（-2，2，2），

，=（4，0，4），

∴cos＜＞==-，

∴异面直线AB与CE所成角的大小为60°．

（2）设平面ODM的法向量=（x，y，z），则由⊥

且⊥，，

令x=2，则y=1，z=1，∴=（2，1，1），

设直线CD和平面ODM所成角为θ，

则sinθ=|cos＜，＞|=||==，

∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为．

解：（I）图1中，∵，

∴DE∥BC，且DE=BC=4．得△ADE是边长等于4的等边三角形，

∵G是BC的中点，得AG是等边△ABC的中线

∴AG⊥BC，结合DE∥BC，得AG⊥DE

图2中，∵AF⊥DE，FG⊥DE，AF、FG是平面AFG内的相交直线

∴DE⊥平面AFG

∵DE∥BC，

∴BC丄平面AFG

（II）分别以FG、FD、FA所在直线为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示空间直角坐标系，

可得A（0，0，2），B（，-3，0），E（0，-2，0）

∴=（，-3，-2），=（-，1，0）

设平面ABE的一个法向量为=（x，y，z）

可得，取x=1，得y=，z=-1

∴平面ABE的一个法向量为=（1，，-1）

又∵=（1，0，0）是平面ADE的一个法向量

∴cos＜，＞==

结合图形，可得二面角B-AE-D是一个钝二面角

∴二面角B-AE-D的大小是π-arcsos

解：如图，分别在直线OA，OB，OC上取D，E，F，使OD=OE=OF=2，并连接DE，EF，FD，则根据已知条件：△ODE，△OEF，△ODF都为等边三角形；

取EF中点G，连接DG，OG则，DG⊥EF，OG⊥EF，DG∩OG=G；

∴EF⊥平面DOG；

作DH⊥OG，垂足为H，则：EF⊥DH；

即DH⊥OG，DH⊥EF，OG∩EF=G；

∴DH⊥平面OEF，即DH⊥平面OBC；

∴∠DOH便为OA和平面OBC所成角；

能够求出；

∴在△DOG中，由余弦定理得：cos∠DOG=；

∴直线OA与平面OBC所成的角为arccos．

（Ⅰ）证明：

∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，

∵侧面APD⊥底面ABCD，∴AB⊥面APD．

∵PE⊂面APD，∴AB⊥PE．

（Ⅱ）证明：∵∠BAD=90°，AB=2，AE=2，

∴∠AEB=60°．

∵∠ADC=60°，CD、BE共面，∴CD∥BE．

又CD⊄面PBE，BE⊂面PBE，

∴CD∥面PBE．

（Ⅲ）解：法一、

在面ABCD内作CF⊥AD，垂足为F，

∵侧面APD⊥底面ABCD，∴CF⊥面APD．

在面APD内作FG⊥PD，垂足为G，连结CG，则CG⊥PD，

∴∠CGF是二面角A-PD-C的平面角．

∴FC=8sin60°=4，FD=8cos60°=4．

∵AP⊥PD，∴AP=2FG=6，于是FG=3．

∴tan∠CGF==．∴∠CGF=arctan为所求．

法二、

如图建立空间直角坐标系．

所以D（0，，0），P（0，0，），C（，，0）

设平面PCD的一个法向量为

由，得．

取x=，得．

平面APD的一个法向量为

设所求二面角的大小为θ，

∵=（，3，）•（1，0，0）=，||||==，

∴cosθ==．∴θ=arccos．

∴所求二面角的大小为arccos．

解：（1）证明：根据题意，在△AOC中，AC=a=2，，

所以AC2=AO2+CO2，所以AO⊥CO．…（2分）

因为AC，BD是正方形ABCD的对角线，

所以AO⊥BD．…（3分）

因为BD∩CO=O，

所以AO⊥平面BCD；．…（4分）

（2）：由（1）知，CO⊥OD，如图，以O为原点，OC，OD所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系O-xyz，…（5分）

则有O（0，0，0），，，．

设A（x0，0，z0）（x0＜0），则，．…（6分）

又设面ABD的法向量为n=（x1，y1，z1），

则即  

所以y1=0，令x1=z0，则z1=-x0．

所以n=（z0，0，-x0）．…（8分）

因为平面BCD的一个法向量为m=（0，0，1），

且二面角A-BD-C的大小为120°，…（9分）

所以，得．

因为，所以．

解得．所以．…（10分）

设平面ABC的法向量为l=（x2，y2，z2），因为，

则，即令x2=1，则．

所以．…（12分）

设二面角A-BC-D的平面角为θ，

所以．…（13分）

所以．

所以二面角A-BC-D的正切值为．…（14分）

解：（1）以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，

∵四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，，

∴SD=，

∴S=（0，0，1），D（0，0，0），B（1，1，0），A（1，0，0），，

设与的夹角为α，

异面直线DM与SB所成角为θ，

cosθ=|cosα|=0，

∴，

∴异面直线DM与SB所成角的大小为．

（2）平面ASD的一个法向量，

设平面BSC的一个法向量，

∵，

∴，

令y=1，则，

设与的夹角为β，则，

由图形得，面ASD与面BSC所成二面角的大小为．

解：（1）如图，以点D为原点O，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则D（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，2），

设P（0，1，λ），其中λ∈[0，2]，

因为，所以，

即（-1，1，λ-2）•（-1，0，λ）=0，得λ=1，

此时P（0，1，1），即有PC=1；

（2）平面AA1B的一个法向量为，

设平面A1BP的一个法向量为=（x，y，z），

则即

不妨取x=1，则y=2，z=1，即=（1，2，1），

所以=，

所以，钝二面角A-A1B-P的大小为π-arccos．

解：（Ⅰ）由余弦定理得BD=，

∴BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，BD⊥AB，

∵AB∥CD，∴BD⊥DC，

∵PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，

∴BD⊥PD，

又PD∩DC=D，

∴BD⊥底面PDC，

又PC⊂面PDC，

∴BD⊥PC．

（Ⅱ）已知AB=1，AD=CD=2，PD=，由（Ⅰ）知BD⊥底面PDC，

以D为坐标原点，DB为x轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图：

则D（0，0，0），B（），P（0，0，），M（0，1，），

则，，，，

设平面BDM的法向量为，则，

即，令z=，则y=-2，可取向量，

同理设平面BMP的法向量为，则，

可得，

∴，

∴求二面角D-BM-P的余弦值为．

解：由三视图可知，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PC⊥面ABCD，且PC=2…（2分）

（Ⅰ）由锥体体积公式得=…（4分）

（Ⅱ）连接AC，交BD于点F，则F为AC中点，连接EF，

则EF为三角形PAC中位线，所以EF∥PA，

又PA⊄平面BDE，EF⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE…（6分）

（Ⅲ）以C为坐标原点，以CD、CB、CP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），D（1，0，0），B（0，1，0），A（1，1，0），

∴，…（8分）

设面PAD的法向量

由，可得，取

同理得面PAB的法向量…（10分）

∴==

∵二面角D-AP-B为钝二面角

∴二面角的余弦值为…（12分）