热门试卷

（1）证明：连接AD交BE于点G，连接MG，则点G是正六边形的中心，所以G是线段AD的中点

∵M是PA的中点，∴MG∥PD

∵PD⊄平面MBE，MG⊂平面MBE

∴PD∥平面MBE

∵DC∥BE，DC⊄平面MBE，BE⊂平面MBE

∴DC∥平面MBE

∵PD∩DC=D

∴平面PCD∥平面MBE；

（2）解：不妨设AB=2，则PA=2λ，在正六边形ABCDEF中，连接AE，过点F作FH⊥AE，垂足为H，则FH=AFsin∠FAE=1，AH=AFcos∠FAE=，AE=2，以A为坐标原点，AE，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，0，0），D（2，2，0），F（，-1，0），M（0，0，λ）

∴=（，0，λ），=（0，2，0），=（-，-1，0）

设平面DME的法向量为，

由得，取z=2，则

同理可得平面FME的法向量为

∴=

∵二面角D-ME-F的大小为135°

∴

∴λ2=6

∵λ＞0，

∴

解法一：

（I）证明：如图，取PC的中点O，连接OF，OE．

由已知得OF∥DC且，

又∵E是AB的中点，则OF∥AE且OF=AE，

∴AEOF是平行四边形，

∴AF∥OE

又∵OE⊂平面PEC，AF⊄平面PEC

∴AF∥平面PEC．

（II）解：如图，作AM⊥CE交CE的延长线于M．

连接PM，由三垂线定理得PM⊥CE，

∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．

∴∠PMA=45°，

∵PA=1，∴AM=1，

设AE=x，

由△AME≌△CBE，得，解得，

故要使二面角P-EC-D的大小为45°，只需．

解法二：

（I）证明：由已知，AB，AD，AP两两垂直，

分别以它们所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz．

则A（0，0，0），，

∴，

∵E（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，1），

设平面PEC的法向量为

则，令x=1得，

由，得，

又AF⊄平面PEC，故AF∥平面PEC．

（II）解：由已知可得平面DEC的一个法向量为，

设E=（t，0，0），设平面PEC的法向量为

则，令x=1得，

由，

故，要使要使二面角P-EC-D的大小为45°，只需．

解：（I）∵面PBC⊥面ABC，AC⊥BC，∴AC⊥面PBC，∴AC⊥PB

（II）用向量法求解：作PM⊥BC，垂足为M，在平面ABC内过点M作MQ⊥BC垂足为M，∵平面PBC丄平面ABC，PM，MQ，BC两两垂直，如图建立空间坐标系M-xyz，其中M为坐标原点．

∵三角形PBC是边长为a的正三角形，，∠ABC=90°，∠BAC=30°，M是BC的中点，

∴A（）P（0，0，a），C（，0，0），

∴，，，

设平面MPA的法向量为，∴解得

不妨令y=，则

设平面CAP的方向向量为∴，解得

不妨令z=，则

∴cos＜＞==

∴二面角的大小是arccos

（Ⅰ）证明：取AD中点M，连接EM，MF，EF，则

∵E，F分别是PD，BC的中点，

∴EM∥PA，MF∥AB

∵EM∩MF=M，PA∩AB=A

∴平面EMF∥平面PAB

∵EF⊂平面EMF

∴EF∥平面PAB；

（Ⅱ）解：∵二面角P-CD-A为直二面角，AD⊥DC

∴AD⊥平面PDC

∵PD⊂平面PDC，∴PD⊥AD

∵PD⊥DC，AD∩DC=D

∴PD⊥平面ABCD

设E到平面PAB的距离为h，连接BD，则BD=3，

∵PD=4，∴PB=，BE=

∵PA=5，AB=3，∴PA⊥AB，∴

∵

∴由等体积可得：×3×3=×h，∴h=

∴直线BE与平面PAB所成角的正弦值为=．

（Ⅰ）证明：连结AC，BD与AC交于点O，连结OF．…（1分）

∵ABCD是菱形，∴O是AC的中点．…（2分）

∵点F为PC的中点，∴OF∥PA．…（3分）

∵OF⊂平面BFD，PA⊄平面BFD，∴PA∥平面BFD．…（6分）

（Ⅱ）解：如图，以点A为坐标原点，线段BC的垂直平分线所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，令PA=AD=AC=1，

则，，．

∴．  …（8分）

设平面BCF的一个法向量为=（x，y，z），

由，，得，∴，

令x=1，则，∴．…（10分）

∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴PA⊥AC．

∵OF∥PA，∴OF⊥AC．

∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD．

∵OF∩BD=O，∴AC⊥平面BFD．

∴是平面BFD的一个法向量，=．

∴，

∴二面角C-BF-D的余弦值是．…（12分）

（Ⅰ）证明：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，

∴AD=BD=DC，

又∠BAC=60°，

∴△ABD为等边三角形，

∵E是BD的中点，∴AE⊥BD，

∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，

又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE⊂平面ABD

∴AE⊥平面BCD．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）结论AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF．

由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD．

如图，以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，

由（Ⅰ）知AB=BD=DC=AD=2，BE=ED=1．

由图1条件计算得则AE=，BC=2，EF=，

则E（0，0，0），D（0，1，0），A（0，0，），F（，0，0），C（，2，0）．

则，，

易知，平面AEF的一个法向量为=（0，1，0）．

设平面ADC的法向量为=（x，y，z），

则，即

令z=1，得y=，x=-1，

即=（-1，，1），

∴cos＜，＞==，

即平面AEF与平面ADC所成的锐角二面角的余弦值为．

（Ⅲ）解：设，其中λ∈[0，1]．

∵=（，0，-），

∴=λ（，0，-），

∴==（），

由，得，

解得∈[0，1]．

∴在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC且AM：AF=3：4．

（1）证明：取AB1的中点M，连结PM，ME．

则PM∥BA∥CE，．

即四边形PCEM是平行四边形，所以PC∥EM．

又EM⊂平面AEB1，PC⊄平面AEB1．

∴CP∥平面AEB1；

（2）解：由题意．

点E到平面AB1A1的距离是AD=3，．

所以，即AB=6；

（3）解：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz．

则A（0，0，0），B1（6，0，2），E（3，3，0），

．

设平面AB1E的法向量为．

由，得，取x=1，得y=-1，z=-3．

所以．

由平面ABB1的一个法向量为．

并设二面角B-AB1-E的大小为α，

则cosα===．

所以二面角B-AB1-E的余弦值为．