热门试卷

解：（1）∵正方体中BC⊥平面AA1B1B，AE⊂平面AA1B1B，∴AE⊥BC

（2）连接EB，∠CEB为CE与平面AA1B1B所成的角，

∵BC=1，BE=，∴tan∠CEB=

即CE与平面AA1B1B所成角大小为arctan

解：（Ⅰ）取CF的中点O，连接OM，则

∵AB∥CD，CDEF是正方形，M是DE的中点，

∴OM∥NB，OM=NB，

∴OMNB是平行四边形，

∴MN∥OB，

∵MN⊄平面FCB，OB⊂平面FCB，

∴MN∥平面FCB；

（Ⅱ）连接CN，则ADCN是平行四边形，

∴AD∥CN，

∴∠MNC就是直线MN与直线AD所成角，

∵ED⊥平面ABCD，

∴∠MND是直线MN与平面ABCD所成角，

设DM=x，则

∵等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2，∠DAB=，

∴AD=，

∴DN==，

∴MN=

∴cos∠MND=，

∵MN=，CN=，CM=，

∴cos∠MNC==0，

∴∠MNC=90°，

∵直线MN与直线AD所成角等于直线MN与平面ABCD所成角的2倍，

∴∠MND=45°，

∴cos∠MND==，

∴x=，即DM=．

（1）证明：∵SA⊥底面ABCD，

∴SA⊥BD…（2分）

∵底面ABCD是正方形，

∴AC⊥BD…（4分）

∵SA∩AC=A，

∴BD⊥平面SAC，

又BD⊂平面EBD

∴平面EBD⊥平面SAC…（5分）

（2）解：如图所示建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，AB，AD，AS所在的直线分别为x，y，z轴．设AB=1．

由题意得B（1，0，0），S（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0）…（6分）

=（1，0，-1），又=（1，1，-1）

设平面BSC的法向量为（x1，y1，z1），则

，令z1=1，则=（1，0，1，…（8分）

=（0，-1，1）=（1，0，0），

设平面SCD的法向量为=（x2，y2，z2），则

，令y2=1，则=（0，1，1），…（10分）

设二面角B-SC-D的平面角为a，则

|cosα|===．

显然二面角B-SC-D的平面角为α为钝角，所以α=120°，

即二面角C-PB-D的大小为120°．…（12分）

解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），D1（1，0，1），B1（0，2，1），D（1，0，0）．

∴，

∴cos==0，

∴=90°，

∴直线AD1与B1D所成角为90°；

（2）设平面B1BDD1的法向量=（x，y，z），则

∵，=（-1，2，0），

∴，

∴可取=（2，1，0），

∴直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦为=．

（1）证明：∵D1D⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，

∴D1D⊥AC，

在正方形ABCD中，AC⊥BD，

∵AC⊂面AB1C，

∴面BB1DD1⊥面AB1C；

（2）过点A点作AO⊥B1C交B1C于O，则O点为B1C的中点，连结D1O，D1C，

则D1B1=B1C=CD1，

∴D1O⊥B1C，

设正方体的棱长为a，连结AD1，

在△AOD中，AO=，OD1=，AD1=，

由余弦定理得=，

即二面角A-B1C-D1的平面角的余弦值为；

（3）直线B1C在平面ABCD的射影为BC，

则∠B1CB是直线B1C与平面ABCD所成的角，

则∠B1CB=45°．

（1）证明：取AC的中点E，并连接DE、BE，如图所示，

因为D是PA中点，E是AC的中点，所以DE∥PC，

又∠PCA=90°，即PC⊥AC，所以DE⊥AC，

且正三角形ABC中，BE⊥AC，

所以AC⊥平面BDE，又BD⊂平面BDE，

所以AC⊥BD．

（2）解：在平面BDE中作EF⊥BE，交BD于F，且EF⊥AC，BE∩AC=E，

所以EF⊥平面ABC，则∠FBE即∠DBE为BD与平面ABC所成角，

其中DE=2×=1，BE=2sin60°=3，

由AC⊥平面BDE知，∠BED为二面角P-AC-B的平面角，即∠BED=120°，

由余弦定理得，BD2=1+9-2×1×3cos120°=13，即BD=，

所以cos∠DBE==，

所以∠DBE=arccos．

即BD与平面ABC所成角为arccos．

（3）解：因为D为PA的中点，所以P到平面ABC的距离h=2DG=，

所以VP-ABC=h==3．