热门试卷

（Ⅰ）证明：取CD中点G，连接PG，HG．

∵PC=PD，CD中点G，

∴PG⊥CD．

∵△APB是等腰直角三角形，H是AB中点，

∴PH⊥AB，HG∥AD．∵BC∥AD，BC⊥CD，

∴HG⊥CD，…（4分）

HG∩PG=G，HG⊂平面PHG，PG⊂平面PHG，

∴CD⊥平面PHG．PH⊂平面PHG，∴CD⊥PH．

∵AB⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，AB和CD相交，

∴PH⊥平面ABCD．                                        …（6分）

（Ⅱ）解：连接BD，由勾股定理可知AB⊥BD．建立如图所示的空间直角坐标系，设BC=CD=AD=2

则点B（0，0，0），D（0，2，0），C（-，，0），P（，0，），…（8分）

设平面PBC的法向量=（x，y，z），则

∵=（-，，0），=（-2，，-），

∴．

∴平面PBC的一个法向量为=（1，1，-1）．

同理平面PDC的一个法向量为=（1，-1，-3）…（10分）

∴cos＜，＞==                …（12分）

（1）证明：∵AB=2AO=2，BO=，

∴AB2=AO2+BO2，

∴AO⊥BO，

∵P在平面ABCD的射影O恰在AD上，

∴BO⊥PO，

∵AO∩PO=O，

∴BO⊥平面PAO，

∵PA⊂平面PAO，

∴PA⊥BO；

（2）解：取PB的中点E，连接AE，DE，

∵PA=2AO=2，∴PO=，

∵BO⊥PO，

∴PB=，

∵PD=BD=2

∴DE⊥PB，

∵PA=AB=2，∴AO⊥PB，

∴∠AED是二面角A-BP-D的平面角．

∵AE=，DE=，AD=4，

∴cos∠AED==-．

（1）证明：∵E为BC边中点∴

又∵∠BCD=60°∴DE⊥BC∴DE⊥AD

∵PD⊥AD∴AD⊥面PDE

（2）解：∵AD⊥面PDE∴AD⊥PD，AD⊥DE

∴∠PDE为二面角P-AD-C的平面角∴∠PDE=60°

过P作PF⊥DE交于F，则PF⊥面ABCD

∴PF=PDsin60°=4，    

在底面ABCD中：

∴

∴①VP-ABED=

②连接BF．∵，BE=2

∴∴∠EBF=30°

∴∠FBA=120°-30°=90°∴FB⊥AB

∵PF⊥面ABCD∴PB⊥AB

∴∠PBF为二面角P-AB-C平面角．

在△BEF中：

∴，∴∠PBF=60°

∴二面角P-AB-C为60°

解：（1）在DC上取一点F，使DF=1，连接EF，则EF⊥平面ABCD，

再连接FB，则∠EBF为直线BE与平面ABCD所成角，…（3分）

∵BF=5，∴，故直线BE与平面ABCD所成角为   …（6分）

（2）由题意AB∥CD，∴∠EBA（或其补角）是异面直线BE与DC所成的角．…（8分）

连接AD1与AE，在Rt△AD1E中，可得，

又在Rt△BEC1中，可得

∴   …（10分）

∴异而直线BE与CD所成角的大小为   …（12分）

（Ⅰ）证明：∵PA=AB=1，F为PB中点，

∴AF⊥PB（1分）

又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC（2分）

又∵ABCD是矩形，∴AB⊥BC（3分）

∴BC⊥平面PAB，而AF⊂平面PAB（4分）

∴AF⊥BC，∴AF⊥平面PBC（5分）

而PC⊂平面PBC，∴AF⊥PC（6分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：PB⊥BC且AB⊥BC（7分）

∴∠PAB为二面角P-BC-A的一个平面角，

则∠PAB=60°      （8分）

∴（9分）

∴，解得（11分）

即时，三棱锥F-ACE的体积为（12分）