热门试卷

解：∵PO⊥平面ABCD，

以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

各点坐标为O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，）．

（1）∵，

∴．

∴．

故直线PD与BC所成的角的余弦值为．

（2）设平面PAB的一个法向量，

由于，

由

取的一个法向量m=（0，0，1），

∴．

又二面角P-AB-C不是钝角．

∴所求二面角P-AB-C的大小为45°

（3）设M（x0，0，z0），由于P，M，C三点共线，可得，，①

若PC⊥平面BMD成立

则必有．

∴．

∴②

由①②知

．∴

故λ=2时，PC⊥平面BMD．

解：（1）证明：∵点B1在底面上的射影D落在BC上，

∴B1D⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，

∴B1D⊥AC，

又∵∠ACB=90°，

∴BC⊥AC，B1D∩BC=D，

∴AC⊥平面BB1C1C．                                            …（4分）

（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（3，0，0），B（0，3，0），，

所以，．

由题意可得：显然平面ABC的法向量n=（0，0，1）．           …（7分）

设平面ABC1的法向量为=（x，y，z），

由，即，…（12分）  

∴，＜，＞=45°

∴二面角C-AB-C1的大小是45°． …（14分）

解：（1）连接AC，AC∩BD=O，连接A1O，则∠A1OA为二面角A-BD-A1的平面角

∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，

∴AO=a

∴tan∠A1OA=；

（2）过A作AE⊥A1O，垂足为E，

∵AE⊥BD，A1O∩BD=O，∴AE⊥平面A1BD

∴∠AA1O为AA1与平面A1BD所成的角

∵A1A=a，AO=a

∴A1O=a

∴AA1与平面A1BD所成的角的余弦值为．

解：（1）如图，分别以DA，DC，D D1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），

由得，

所以，

所以，

所以，直线PB与PD所成角的正弦值为．（5分）

（2）假设存在符合条件的实数λ，

因为，所以，故A1C⊥BD．

要使A1C⊥平面PBD，只需BP⊥A1C，由得P（1-λ，λ，1-λ），

此时，由得．（10分）

（1）证明：如图，∵△PBC是等边三角形，O是BC中点，∴PO⊥BC．

由侧面PBC⊥底面ABCD，得PO⊥平面ABCD，

以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．

∵AB=BC=PB=PC=2CD=2，

∴A（1，-2，0），B（1，0，0），D（-1，-1，0），P（0，0，）

∴

∴

∴

∴PA⊥BD；

（2）解：∵，

∴

∵

∴=

∵平面ABCD的一个法向量=（0，0，1），直线DF与平面ABCD所成角为30°

∴sin30°=||

∴4λ2-16λ+7=0

∴，（舍去）

∴λ=时，直线DF与平面ABCD所成角为30°．

解：（Ⅰ）以A为原点，AB、AD、PA所在的直线分别为x、y、z轴，

建立空间直角坐标系A-xyz如图所示，

设正方形ABCD的边长为1，PA=a，则

A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）（a＞0），

E（，，0），F（，，），G（m，m，0）（0＜m＜）．

要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，

而=（，，-a），

由=λ可得

解得λ=，m=，

∴G点坐标为（，，0）

∴=，

故当AG=AC时，FG∥平面PBD．

（Ⅱ）设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），

则

而=（1，1，-a），=（0，1，0），

∴

取z=1，得=（a，0，1），

同理可得平面PDC的一个法向量=（0，a，1），

设u，v所成的角为θ，

则|cosθ|=|cos|=，

即=，

∴=，

∴a=1，

∵PA⊥面ABCD，

∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，

∴tan∠PCA===．

解：（1）过D作DE⊥BC于E，则DE=CD•sin30°=，OE=OB-BDcos60°=1-=，

∴D的坐标为（0，-，），

又∵C（0，1，0），

∴

（2）依题设有A点坐标为A，

∴

则，

故异面直线AD与BC所成角的余弦值为．