热门试卷

解法一：如图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，

∵AC=2，BC=，SB=，∴B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0），

=（2，，-2），=（-2，，0）．

（1）∵•=0，∴SC⊥BC．

（2）设SC与AB所成的角为α，

∵=（0，，0），•=4，||||=4，

∴cosα=，即为所求．

解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜线SC在平面ABC内的射影，∴SC⊥BC．

（2）如图，过点C作CD∥AB，过点A作AD∥BC交CD于点D，

连接SD、SC，则∠SCD为异面直线SC与AB所成的角．

∵四边形ABCD是平行四边形，CD=，SA=2，SD===5，

∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=，即为所求．

解：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，

∴AB⊥平面PAD，（4分）

∵E、F为PA、PB的中点，

∴EF∥AB，

∴EF⊥平面PAD；                        （6分）

（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，

∵平面PAD⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD．

取AO中点M，连OG，EO，EM，

∵EF∥AB∥OG，

∴OG即为面EFG与面ABCD的交线（8分）

又EM∥OP，则EM⊥平面ABCD．且OG⊥AO，

故OG⊥EO

∴∠EOM 即为所求       （11分）

在RT△EOM中，EM=OM=1

∴tan∠EOM=，故∠EOM=60°

∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60°．（14分）

解：（Ⅰ）因为A1在底面ABC上的射影恰为B点，所以A1B⊥底面ABC．

所以∠A1AB就是AA1与底面ABC所成的角．

因AB=A1B=2，A1B⊥AB，故 ，

即AA1与底面ABC所成的角是．…（3分）

如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），，．

则，

故AA1与棱BC所成的角是．…（7分）

（Ⅱ）设，则P（2λ，4-2λ，2）．

于是（舍去），

则P为棱B1C1的中点，其坐标为P（1，3，2）．…（9分）

设平面P-AB-A1的法向量为，则，

故．…（11分）

而平面ABA1的法向量是，

则，

故二面角P-AB-A1的平面角的余弦值是．…（14分）

解：（1）以G点为原点，GB，GC，GP为x轴、y轴、

z轴建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），C（0，2，0），

P（0，0，4），故E（1，1，0）=（1，1，0），=（0，2，4）．

cos=，

∴GE与PC所成的余弦值为

（2）平面PBG的单位法向量=（0，±1，0）

∵，

∴点D到平面PBG的距离为|•|=

（3）设F（0，y，z），则

∵，

∴∴，

∴y=，又，即（0，，z-4）=λ（0，2，-4），∴z=1，

故F（0，，1），，，

∴=3．

解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则D1（0，0，2），E（2，1，0），C（0，2，0）．

设P（x，y，2），则，，

因为D1P⊥平面PCE，所以D1P⊥EP，D1P⊥EC，

所以，解得（舍去）或 …（4分）

即P（），所以，所以．…（6分）

（2）由（1）知，平面平面PCE，

设DE与平面PEC所成角为θ，与所成角为α，则

所以直线DE与平面PEC所成角的正弦值为． …（10分）