热门试卷

（1）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴AD⊥PQ

又∵∠BAD=60°，底面ABCD为菱形，Q为AD的中点，∴AD⊥BQ

∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，

∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）解：以Q为空间坐标原点，直线DA为x轴，直线QB为y轴，直线QP为z轴建立空间直角坐标系，

则；

∵，∴

在平面MQB中，，，

设平面MQB的法向量为=（x，y，z），则

∴平面MQB的法向量为

而平面CQB的法向量，

设二面角M-BQ-C的夹角是θ，∴=-，∴θ=60°．

解：（Ⅰ）记由A点旋转形成的截面圆为圆O1，则

∵将△SAO绕轴旋转一周所得几何体的体积是圆锥SO体积的，

∴=，

∵OC=4，

∴O1A=2，即A为SC的中点，

∴圆锥SO的体积=；

（Ⅱ）在△SAO绕轴SO旋转一周过程中，当A∈平面SOB时，平面ABO⊥平面BOC，此时二面角A-OB-C余弦值为0；

当A∉平面SOB时，作AH∥SO，∴AH⊥圆O，作HM⊥BO交BO延长线于M，连接AM，则AH⊥OM，

∵HM∩AH=H，∴BO⊥平面AHM，∴BO⊥AM，

记二面角A-OB-C的大小为θ，则θ=∠AMH或π-∠AMH．

在Rt△AHM中，AH=SO=2，H到线段BO的距离d∈（0，2]，

∴|cosθ|=cos∠AMH==∈（0，]，

综上所述，二面角A-OB-C余弦值的取值范围为[-，]．

（I）证明：取DA中点N，连接GN，CN

在△EAB中，G、N分别为EA，AD的中点，

∴GN∥EB，且GN=EB．

由已知CF∥DE，CF=2，DE=4，

∴CF∥EB，且CF=EB．

∴CF∥GN且CF=GN，

∴四边形GFCN为平行四边形，

∴FG∥CN，

∵CN⊂平面ABCD，且FG⊄平面ABCD，

∴FG∥平面ABCD；

（II）证明：在正方形ADEF中，AD⊥CD，

又∵平面CDEF⊥平面ABCD，且平面CDEF∩平面ABCD=CD，

∴AD⊥平面CDEF，

∴AD⊥EF．

在直角梯形CDEF中，CD=CF=2，DE=4，可得DF=2

在△DEF中，EF=DF=2，DE=4，

∴EF⊥DF．

∵AD∩DF=D

∴EF⊥平面ADF，

∵EF⊂平面AEF，

∴平面FAD⊥平面FAE；

（Ⅲ）解：以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

则平面ABCD的一个法向量为=（0，0，4）．

设平面FAE的一个法向量为=（x，y，z），则

∵=（0，2，2），=（2，0，0），

∴，

∴可取=（0，1，-1）．

设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ，

则cosθ=||=，

∴平面FAE与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为．

解：取BC得中点M，连接EM，AM，

∵直角△BCD中，DC=BC，∴DC⊥BC

∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，∴DC⊥平面ABC

∵△BCD中，EM是中位线，∴EM∥DC，可得EM⊥平面ABC

∵AM是等边△ABC的中线，∴AM⊥BC

分别以MA、MB、ME为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设AB=BC=AC=DC=2，则

可得M（0，0，0），，B（0，1，0），C（0，-1，0），

D（0，-1，2），E（0，0，1），，

（Ⅰ）∵，

∴=0×+（-2）×0+0×1=0

由此可得，即AE⊥BC；------------------（6分）

（Ⅱ） 设F（0，y，0），且-1≤y≤1，

平面PBE的一个法向量为=（x1，y1，z1），

平面PEF的一个法向量为=（x2，y2，z2），又有：，

∴即，

取y1=1，得x1=0，z1=1，可得=（0，1，1）

又∵，∴取y2=1，得x2=0，z2=y，可得=（0，1，y），

又∵cos＜，＞=|cosθ|∈[，1]，θ∈[0，]

∴•=||•||cos＜，＞，可得≤≤1，解之得0≤y≤1，

又∵向量是平面DBC的一个法向量，且，，

且

∴tanα=，结合0≤y≤1，可得tanα∈[，3]-------------------------------------（14分）

解：（1）证明：连接AD1，在△ABD1中

∵E是BD1的中点，F是BA中点，

∴EF∥AD1

又EF⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1

∴EF∥平面ADD1A1．

（2）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyzz（DG为AB边上的高）

则有A1（，-，），F（，，0），D1（0，0，），

B（，，0），

∴E（ ，， ），

设平面DEF的一个法向量为n=（x，y，z），

由，得

取x=1解得∴法向量

∵=（0，1，-），

设A1F与平面DEF所成的角为θ，则

=

∴A1F与平面DEF所成角的正弦值为．

（I）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD⊥AB，

∵BE⊥平面ABCD，EB∥FA，

∴FA⊥平面ABCD，∵AD⊂平面ABCD，∴FA⊥AD，

∵AB，FA⊂平面AFB，AB∩FA=A，

∴AD⊥平面AFB，∵AD⊂平面AFD，∴平面AFD⊥平面AFB；

（II）以B为原点，BE，BA，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设EB=2，则AF=AB=1，

故E（2，0，0），D（0，1，1），C（0，0，1），F（1，1，0），B（0，0，0），

∴直线ED的方向向量为=（-2，1，1），直线CF的方向向量为=（1，1，-1），

设直线ED与CF所成的角为θ，则cosθ=；

（III）直线EC的方向向量为=（-2，0，1），=（0，0，1），=（1，1，0），

设平面BCF的法向量为=（x，y，z），则

，故，取，则=（1，-1，0），

设直线EC与平面BCF所成的角为α，则sinα==．

解：（Ⅰ）如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴

建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），

C（0，2，0），D1（0，0，5），E（0，0，1），F（2，2，4）

∴=（-2，2，0），=（0，2，4），

=（-2，-2，1），=（-2，0，1）．   

∴

∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF=A

∴BE⊥平面ACF

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，为平面ACF的一个法向量    

∴向量在上的射影长即为E到平面ACF的距离，设为d

于是 d==

故点E到平面ACF的距离

解：（1）建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．

在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），

∴

∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，

又因为AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．

解：（2）由（1）得．

设平面PCD的法向量为，

则，

即，

∴，故平面PCD的法向量可取为

∵PA⊥平面ABCD，

∴为平面ABCD的法向量．

设二面角P-CD-B的大小为θ，依题意可得．

（3）由（Ⅰ）得，

设平面PBD的法向量为，

则，即，

∴x=y=z，故可取为．

∵，

∴C到面PBD的距离为