热门试卷

（Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，∵∠ABC=60°

∴△ABC为正三角形，

又∵E为AB的中点

∴CE⊥AB，

∵平面PAB⊥平面ABCD，AB为平面PAB与平面ABCD的交线，

∴CE⊥平面PAB，

又∵PA⊂平面PAB

∴CE⊥PA…（4分）

（Ⅱ）解：∵PA=PB，E为AB的中点，

∴PE⊥AB，

又∵PE⊥CE，AB∩CE=E

∴PE⊥平面ABCD，

以E为坐标原点，EB，EC，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示

设AB=2，则PA=PB=，EP=EA=EB=1，EC=，

∴E（0，0，0），B（1，0，0，），C（0，，0），P（0，0，1），D（-2，，0）

设，其中0≤k≤1，则，

∵为平面PEC的法向量，

∴，得k=，

即F是PD的中点，∴F（-1，，）…（9分）

设为平面EFC的法向量，则

 令z=2，得x=1，取，

设为平面PBC的法向量，则 得出

令z1=1，得，取，

设平面EFC与平面PBC夹角为θ，则cosθ=|cos（）|==…（12分）

解：解法一：（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．

∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC又EF⊄平面PAC

而PC⊂平面PAC∴EF∥平面PAC．

（2）∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴EB⊥PA．又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP⊂平面PAB，∴EB⊥平面PAB，

又AF⊂平面PAB，∴AF⊥BE．

又PA=AB=1，点F是PB的中点，∴AF⊥PB，又∵PB∩BE=B，PB，BE⊂平面PBE，∴AF⊥平面PBE．

∵PE⊂平面PBE，∴AF⊥PE．即无论点E在边BC的何处，

PE与AF所成角都是定值90°．

（3）过A作AG⊥DE于G，连PG，又∵DE⊥PA，

则DE⊥平面PAG，

则∠PGA是二面角P-DE-A的平面角，

∴∠PGA=45°，

∵PD与平面ABCD所成角是30°，∴∠PDA=30°，

∴，PA=AB=1．

∴AG=1，，设BE=x，则GE=x，，

在Rt△DCE中，，．

解法二：（向量法）（1）同解法一

（2）建立图示空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（0，1，0），，．

设BE=x，则E（x，1，0）-=

∴AF⊥PE即PE与AF所成角是定值90°

（3）设平面PDE的法向量为，由，得：，而平面ADE的法向量为，

∵二面角P-DE-A的大小是45°，所以cos45°=，

∴，

得或 （舍）．

解：∵PD⊥平面ABCD，DA⊥DC

∴DA、DC、DP两两互相垂直，

以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示

可得A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，m）

是平面PBD的一个法向量

，

设平面PBC的法向量为，可得

，解之得a=0，取c=2得b==m

∴，是平面PBC的一个法向量

二面角D-PB-C的大小为θ，则

|cosθ|=|cos＜＞|===

∵θ＜60°，

∴|cosθ|=cosθ＞，得，解之得m＞2，即m的取值范围为（2，+∞）．

（1）证明：因为∠BAD=90°，所以AD⊥AB，

又因为C′B⊥AD，且AB∩C′B=B，

所以AD⊥平面C′AB，

因为AC′⊂平面C′AB，

所以AD⊥AC′．

（2）因为△BCD是等边三角形，

AB=AD，∠BAD=90°，

不防设AB=1，则BC=CD=BD=，

又因为M，N分别为BD，C′B的中点，

由此以A为原点，AB，AD，AC′所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系A-xyz．

则有A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），C′（0，0，1），，．

所以，．

设平面AMN的法向量为．

则，

即，

令x=1，则y=z=-1．

所以．

又平面ABM的一个法向量为．

所以．

所以二面角N-AM-B的余弦值为．

证明：（1）∴EF∥平面ABCD，且EF⊂平面EFAB，

又平面ABCD∩平面EFAB=AB，

∴EF∥AB

又M，N是平行四边形两边AD，BC的中点，

∴MN∥AB∴MN∥EF，

∴E，F，N，M四点共面，

∵FB=FC，∴BC⊥MN，

且

∴BC⊥平面EFNM；

解：（2）在平面EFNM内F作MN的垂线，垂足为H，则由（1）可知：

BC⊥平面EFNM；平面ABCD⊥平面EFNM；

∴FH⊥平面EFNM；

∵FB⊥BC，HN⊥BC，

∴二面角F-BC-A的平面角为∠FNH，

Rt△FNB，Rt△FNH中FN==，HN=FNcos∠FNH=×=2，

∴FH=8，过H作AB，CD的垂线，垂足为S，Q．连接FN，FS，FQ，

∴∠SFQ∴∠SFQ是二面角B-EF-C的平面角，

是二面角B-EF-C的平面角，

有图可知，AB⊥SQ，AB⊥FH，

∴AB⊥平面FSQ，由（1）知EF∥AB，∴EF⊥平面FSQ，

∴∠SFQ是二面角B-EF-C的平面角，

∴在△SFQ中，tan∠SFQ=tan（π-∠FSQ-∠FQS）=-=，

∴COS∠QFS=，

平面BEF和平面CEF所成锐二面角的余弦值为．

解：（1）∵△MCD为正三角形且O是CD的中点，∴MO⊥CD…（1分）

∵面MCD⊥面BCD；面MCD∩面BCD=CD，MO⊂面MCD…（2分）

∴MO⊥面BCD；…（3分）

又∵AB⊥面BCD；∴AB∥MO…（4分）

∵MO⊄面ABC，AB⊂面ABC； …（5分）

∴MO∥面ABC…（6分）

（2）以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图．…（7分）

OB=OM=，则各点坐标分别为O（0，0，0），

C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），

A（0，-，2），…（8分）

，．

设平面ACM的法向量为，

由得．…（9分）

解得x=，y=z，取．…（10分）

又平面BCD的法向量为，…（11分）

则==…（13分）

设所求二面角为θ，则sinθ==．…（14分）

证明：（Ⅰ）∵O，E分别是AC，SC的中点，

∴SA∥OE．

∵底面ABCD是正方形，

∴SA，AB，AD两两垂直，连接DG并延长交SB于F，

∵SO是△SBD的直线，

∴G在SO上，

∵AG⊥平面SBD，

∴AG⊥SB，

∵AD⊥SB，

∴SB⊥平面ADF，

同理SO⊥BD，BG⊥SD，

则G是△SBD的垂心，

∵G是△SBD的重心，

∴△SBD是等边三角形；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，SA，AB，AD两两垂直，且SA=AB=AD，

建立如图所示的直角坐标系，

设AB=a，

则B（-a，0，a），C（a，a，0），

D（0，a，0），S（0，0，a），

则=（-a，0，a），=（-a，a，0），

设平面SBD的一个法向量为=（x，y，z），

则，

令x=1，则y=1，z=1，

即为=（1，1，1），

同理平面SCD的一个法向量为=（0，1，1）

∵cos＜，＞===，

∴二面角B-SD-C余弦值的大小为．

解：（1）作AH⊥面BCD于H，连BH，CH，DH，则四边形BHCD是正方形，

且AH=1，所以A到平面BCD距离为1．

（2）以D为原点，以A（x1，y1）为x轴，DC为y轴建立空间直角坐标系如图，则B（1，0，0），C（0，1，0），A（1，1，1），

∴，则BC⊥AD．

设平面ABC的法向量为，

则由知：；

同理由知：．

可取x=1，则．

同理，可求得平面ACD的一个法向量为．

∴cos＜＞==．