热门试卷

解法一：

（I）证明

如图，连接AC，AC交BD于点G，连接EG．∵底面ABCD是正方形，∴G为AC的中点．

又E为PC的中点，∴EG∥PA．∵EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB   …（4分）

（II）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DB，PD⊥DC，PD⊥DB．

又∵BC⊥DC，PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC．∴PC是PB在平面PDC内的射影．

∵PD⊥DC，PD=DC，点E是PC的中点，∴DE⊥PC．

由三垂线定理知，DE⊥PB．

∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD．   …（8分）

（III）

∵PB⊥平面EFD，∴PB⊥FD．又∵EF⊥PB，FD∩EF=F，∴∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角．…（10分）

∵PD=DC=BC=2，∴PC=DB=2，DE=PC=

∵PD⊥DB，

∴PB==2

DF==

由（II）知：DE⊥PC，DE⊥PB，PC∩PB=P，∴DE⊥平面PBC．

∵EF⊂平面PBC，∴DE⊥EF．

在Rt△DEF中，sin∠EFD==

∴∠EFD=60°．

故所求二面角C-PB-D的大小为60°．  …（12分）

解法二：

如图，以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系，得以下各点坐标：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），

C（0，2，0），P（0，0，2）…（1分）

（I）证明：

连接AC，AC交BD于点G，连接EG．∵底面ABCD是正方形，∴G为AC的中点．G点坐标为（1，1，0）．

又E为PC的中点，E点坐标为（0，1，1），

∴=（2，0，-2），=（1，0，-1）

∴=2

∴PA∥EG

∵EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，

∴PA∥平面EDB   …（4分）

（II）证明：

=（2，2，-2），=（0，1，1）

∴•=0

∴PB⊥DE

又∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，

∴PB⊥平面EFD．

（III）∵PB⊥平面EFD，∴PB⊥FD．

又∵EF⊥PB，FD∩EF=F，∴∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角．…（10分）

设点F的坐标为（x，y，z），则=（x，y，z-2），=（x，y，z）

∵PF∥PB，DF⊥PB

∴=k，•=0，即：

x=y=（-z-2）=2k，x+y-z=0

解得：k=，x=y=，z=

∴点F的坐标为（，，）

=（-，-，-），=（-，，-）

∵cos∠EFD==

∴∠EFD=60°．故所求二面角C-PB-D的大小为60°．  …（12分）

（1）作AH⊥面BCD于H，连BH，CH，DH，则四边形BHCD是正方形，

且AH=1，所以A到平面BCD距离为1．

（2）以D为原点，以A（x1，y1）为x轴，DC为y轴建立空间直角坐标系如图，则B（1，0，0），C（0，1，0），A（1，1，1），

∴•=0，则BC⊥AD．

设平面ABC的法向量为=(x，y，z)，

则由⊥知：•=-x+y=0；

同理由⊥知：•=x+z=0．

可取x=1，则=(1，1，-1)．

同理，可求得平面ACD的一个法向量为=(1，0，-1)．

∴cos＜，＞==．

（Ⅰ）以AC的中点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1．

∵∠C1DC=60°，∴CC1=

则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），A1（1，0，），

B1（0，，），C1（-1，0，）

连结B1C交BC1于O，则O是B1C的中点，连结DO，则O(-，，)

∴=(-1，，)，=(-，，)，

∴=2．

∵AB1⊄平面BC1D，DO⊂平面BC1D，

∴AB1∥平面BC1D．…（5分）

（Ⅱ）=(-1，0，)，=(1，，-)．

设平面BC1D的一个法向量为=（x，y，z），则

即，则有y=0

令z=1，则=（，0，1），设平面BCC1B1的一个法向量是为=（x'，y'，z'），=(0，0，)，=(1，，-)，则

即，∴z′=0．

令y'=-1，则=（，-1，0）

∴cos＜，＞==

∴二面角D-BC1-C的大小为arccos．…（12分）

（1）证明：连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接A1O，OE，

在等边△A1BD中，BD⊥A1O，

∵BD⊥A1E，A1O⊂平面A1OE，A1O∩A1E=A1，

∴BD⊥平面A1OE，

于是BD⊥OE，

∴∠A1OE是二面角A1-BD-E的平面角，

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设棱长为2a，

∵E是棱CC1的中点，

∴由平面几何知识，得EO=a，A1O=a，A1E=3a，

满足A1E2=A1O2+EO2，

∴∠A1OE=90°，即平面A1BD⊥平面EBD．

（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

假设棱CC1上存在点E，可以使二面角A1-BD-E的大小为45°，

由（1）知，∠A1OE=45°，

设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a，EC=x，

由平面几何知识，得EO=，A1O=a，A1E=，

∴在△A1OE中，由A1E2=A1O2+EO2-2A1O•EO•cos∠A1OE，

得x2-8ax-2a2=0，

解得x=4a±3a，

∵4a+3a＞2a，4a-3a＜0，

∴棱OC1上不存在满足条件的点．

（1）证明：如图，

取PA的中点E，连接DE，EN，

∵点N是PB的中点，∴EN∥AB，EN=AB．

∵点M是CD的中点，底面ABCD是正方形，

∴DM∥AB，DM=AB．

∴EN∥DM，EN=DM．

∴四边形EDMN是平行四边形．

∴MN∥DE．

∵DE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

∴MN∥面PAD；

（2）取AB中点G，连结NG，则NG∥PA，PA⊥面ABCD，

∴NG⊥面ABCD．

∵AM⊂面ABCD，

∴NG⊥AM．

过G作GF⊥AM，垂足为F，连接NF，

∵NG∩GF=G，NG⊂面NGF，GF⊂面NGF，

∴AM⊥面NGF．

∵NF⊂面NGF，

∴AM⊥NF．

∴∠NFG是二面角N-AM-B的平面角．

在Rt△NGM中，MN=5，MG=AD=3，得NG===4，

在Rt△MGA中，AG=，得AM===，

GF===．

在Rt△NGF中，NF===，

∴cos∠NFG===．

∴二面角N-AM-B的余弦值为．

（Ⅰ）在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=，

∴∠DCA=∠BAC=．又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．

∴DC=AC=（AB）=2AB．

连接BD，交AC于点M，则==2

∵PD∥平面EAC，又平面EAC∩平面PDB=ME，∴PD∥EM

在△BPD中，==2，

即PE=2EB时，PD∥平面EAC

（Ⅱ）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，

如图建立空间直角坐标系．

设PA=AB=BC=a，则A（0，0，0），B（0，a，0），

C（a，a，0），P（0，0，a），E（0，，）．

设=(x，y，1)，为平面EAC的一个法向量，

则⊥，⊥，

∴，解得x=，y=-，

∴n=（，-，1）．

设=（，，1）为平面PBC的一个法向量，

则⊥，⊥，

又=（a，0，0），=（0，-a，a），

∴，解得x′=0，y′=1，

∴=（0，1，1）．∴cos，＞=

∴二面角A-CE-P的余弦值为．

（1）如图所示，

取A1B1的中点P，连接MP，NP．

又∵点M，N分别为A1B和B1C1的中点，∴NP∥A1C1，MP∥B1B，

∵NP⊂平面MNP，A1C1⊄平面MNP，∴NP∥平面A1ACC1；

同理MP∥平面A1ACC1；

又MP∩NP=P，

∴平面MNP∥平面A1ACC1；

∴MN∥平面A1ACC1；

（2）侧棱与底面垂直可得A1A⊥AB，A1A⊥AC，及AB⊥AC，可建立如图所示的空间直角坐标系．

则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（0，2，2），N（1，1，2），M（1，0，1）．

∴=（-1，2，-1），=（1，-1，2），=（0，2，0）．

设平面ACM的法向量为=（x1，y1，z1），则，令x1=1，则z1=-1，y1=0．

∴=（1，0，-1）．

设平面NCM的法向量为=（x2，y2，z2），则，令x2=3，则y2=1，z2=-1．

∴=（3，1，-1）．

∴cos＜，＞===．

设二面角N-MC-A为θ，则sinθ===．

故二面角N-MC-A的正弦值为．

（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A1O，BO，

在三棱柱ABC-A1B1C1中，

所有棱长都为2，∠A1AC=60°，

则A1O⊥AC，BO⊥AC，A1O∩BO=O，…（2分）

所以AC⊥平面A1BO而A1B⊂平面A1BO，

∴AC⊥A1B．…（4分）

（Ⅱ）当三棱柱ABC-A1B1C1的体积最大时，

点A1到平面ABC的距离最大，

此时A1O⊥平面ABC．…（6分）

设平面ABC与平面A1B1C的交线为l，

在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，AB∥平面A1B1C，

∴AB∥l，…（8分）

过点O作OH⊥l交于点H，连接A1H．由OH⊥l，A1O⊥l知l⊥平面A1OH，

∴l⊥A1H，故∠A1HO为平面A1B1C与平面ABC所成二面角的平面角．…（10分）

在Rt△OHC中，OC=AC=1，∠OCH=∠BAC=60°，则OH=，

在Rt△A1OH中，A1O=2sin60°=，A1H=，cos∠A1HO==．…（12分）

即平面A1B1C与平面ABC所成锐角的余弦值为．