热门试卷

（I）如图建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），

B（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2）．

，，

设平面的法向量是，

∴，取，得，           …………（4分）

（II）假设存在，使得，则，

∴，∵，∴

∴当是线段的中点时，异面直线与所成角余弦值等．

略

（1）.（2）在线段上存在一点满足条件，且长度为.

由题意得射线 AB、AD、AP两两垂直，可以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，借助于向量求解。（1）要注意异面直线与所成角的余弦值非负；（2）设存在点，，由点到平面的距离恰为，可得根据两点间的距离公式得

（1）以点为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为的正半轴建立空间直角坐标系（如右图所示），则点、、、，则，.设异面直线与所成角为

,

所以异面直线与所成角的余弦值为.

（2）假设在线段上存在一点满足条件，设点，平面的法向量为

，则有 得到，取，所以，则，又，解得，所以点即，则.所以在线段上存在一点满足条件，且长度为.

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）60°

（I）连结DF，DC　∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，

　　∴CC1⊥平面ABC，∴平面BB1C1C⊥平面ABC

　　∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD⊥平面BB1C1C                                             3＇

　　∴DF为EF在平面BB1C1C上的射影，

　　在△DFC1中，∵DF2＝BF2＋BD2＝5a2，＝＋DC2＝10a2，

　　＝B1F2＋＝5a2，　∴＝DF2＋，∴DF⊥FC1

FC1⊥EF                                                               

　　（II）∵AD⊥平面BB1C1C，∴∠DFE是EF与平面BB1C1C所成的角                                    

　　在△EDF中，若∠EFD＝60°，则ED＝DFtg60°＝·＝，

　　∴＞，∴E在DA的延长线上，而不在线段AD上                                

　　故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60°角。

解：（1）以点为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为的正半轴建立空间直角坐标系（如右图所示），则点、、、，则，.设异面直线与所成角为

,所以异面直线与所成角的余弦值为.

（2）假设在线段上存在一点满足条件，设点，平面的法向量为

，则有 得到，取，所以，则，又，解得，所以点即，则.所以在线段上存在一点满足条件，且长度为.

略

（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，由，有面,从而得到线线垂直；（Ⅱ）作，垂足为，则面，连接，得到直线与平面所成的角为,求得.

试题解析：

（Ⅰ）证明面面 又 面

（Ⅱ）解：作，垂足为，则面，

连接

设，则，设

由题意

则

解得

由（Ⅰ）知面

直线与平面所成的角的正弦值，.

（1）异面直线与所成的角的余弦值为；（2）A到EF的距离为．

（1）如图，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标系，则由已知得

A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，2，1），F（1，0，2）；

∴=（0，2，0），=（1，，1），=（1，0，），

∴ ||=2，||=，=；

= , =，

∴与夹角的余弦值为cos==．

∵异面直线所成角的范围是，向量的夹角范围是；

∴异面直线与所成的角的余弦值为．

（2）由（1）得=，||=；

∴在方向上的射影为=，

∴A到EF的距离为．

（1）（2）

命题意图：本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题，属★★★★★级题目.

知识依托：向量的加、减及向量的数量积.

错解分析：注意＜＞=＜,＞=120°而不是60°,＜＞=90°.

技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.

∴BD1与AC所成角的余弦值为

取DD1的中点G，可证四边形ABFG是平行四边形，得出BF∥AG，

则∠GAE是异面直线AE与BF所成的角．连GF，设正方体棱长为a，

，．

在△AEG中，由余弦定理得

∴．