立体几何中的向量方法_章节学习

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题型：填空题

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填空题

如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为__________．

正确答案

试题分析：求异面直线所成的角，关键是作出这个角，一般把异面直线的一条平移后与另一条相交，得到要求的角（当然异面直线所成的角不大于）本题中我们就可以把向下平移到过点（实际作图时，是延长到，使，则有，然后在中求出，就可得出题中要求的角．

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题型：简答题

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简答题

(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点，求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数表示）.

正确答案

过作，交于，连接.

平面，

是直线与平面所成的角. ……4分

由题意，得.

. ……8分

，. ……10分

故直线与平面所成角的大小是. ……12分

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题型：简答题

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简答题

如图，四棱锥P-ABCD中，，，和都是等边三角形.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求二面角A-PD-C的大小.

正确答案

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

（Ⅰ）证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形.

过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.

连结OA，OB,OD,OE.

由和都是等边三角形知PA=PB=PD，

所以OA=OB=OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，

故，

从而. 3分

因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE//CD.因此. 5分

（Ⅱ）解法一：

由（Ⅰ）知，，.

故平面PBD.

又平面PBD，所以.

取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，

则FG//CD，FG//PD.

连结AF，由为等边三角形可得AF⊥PD.

所以为二面角A-PD-C的平面角. 8分

连结AG，EG，则EG//PB.

又PB⊥AE，所以EG⊥AE.

设AB=2，则，，

故.

在中，，，，

所以.

因此二面角A-PD-C的大小为. 12分

解法二：

由（Ⅰ）知，OE,OB,OP两两垂直.

以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

设，则

，，，.

，.

设平面PCD的法向量为，则

，

可得，.

取，得，故. 8分

设平面PAD的法向量为，则

，

可得.

取m=1，得，故.

于是.

由于等于二面角A-PD-C的平面角，

所以二面角A-PD-C的大小为. 12分

（1）解题的关键是辅助线的添加，取BC的中点E是入手点，然后借助三垂线定理进行证明；（2）利用三垂线定理法或者空间向量法求解二面角. 求二面角：关键是作出或找出其平面角，常用做法是利用三垂线定理定角法，先找到一个半平面的垂线，然后过垂足作二面角棱的垂线，再连接第三边，即可得到平面角。若考虑用向量来求：要求出二个面的法向量，然后转化为,要注意两个法向量的夹角与二面角可能相等也可能互补，要从图上判断一下二面角是锐二面角还是钝二面角，然后根据余弦值确定相等或互补即可。

【考点定位】本题考查线线垂直的证明和二面角的求解，考查学生的空间想象能力和计算能力。

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题型：简答题

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简答题

如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA。OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1

（Ⅰ）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQ⊥OA；

（Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。

正确答案

（Ⅰ）在平面OAB内作ONOA交AB于N，连接CN，在△AOB中，且OA=OB,。在Rt△AON中，,。

在△ONB中，.。又AB=3AQ，Q为AN的中点。在△CAN中，分别为AC,AN的中点，.由OAOC，OAON知：OA平面CON。又NC平面CON,OACN.由PQ//CN,知OAPQ.

（Ⅱ）连结PN,PO.

由OCOA，OCOB知：OC平面OAB。

又ON平面OAB， OCON.又由ONOA知：ON平面AOC. OP是NP在平面AOC内的射影。

在等腰Rt△COA中，P为AC的中点，ACOP。

根据三垂线定理，知：ACNP.

为二面角O-AC-B的平面角。

在等腰Rt△COA中，OC="OA=1," OP=。

在Rt△AON中，ON=OA=，

在Rt△PON中，PN==,

cos。

解法二:

(Ⅰ)取O为坐标原点，以OA,OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示）。

则A(1,0,0),C（0,0,1），B。

。。

又由已知，可得

又..

.故。

（Ⅱ）记平面ABC的法向量，则由n,n，且=（1,0，-1）。

得故可取。

又平面OAC的法向量为e=（0,1,0）。

二面角O-AC-B的平面角是锐角，记为，则。

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题型：简答题

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简答题

在四面体ABCD中，AB＝AD＝BD＝2，BC＝DC＝4，二面角A－BD－C的大小为60°，求AC的长．

正确答案

作出二面角A－BD－C的平面角

在棱BD上选取恰当的点

AB＝AD，BC＝DC

解：取BD中点E，连结AE，EC

∵AB＝AD，BC＝DC

∴AE⊥BD，EC⊥BD

∴∠AEC为二面角A－BD－C的平面角

∴∠AEC＝60°

∵AD＝2，DC＝4

∴AE＝，EC＝

∴据余弦定理得：AC＝．

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题型：填空题

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填空题

15.如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中（侧棱垂直于底面），∠ABC = 90°，且AB = BC = AA1，则BC1与面ACC1A1所成的角的大小为 .

正确答案

30°

略

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题型：填空题

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填空题

如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3,E为DC边的中点，沿AE将折起，使二面角D-AE-B为，则直线AD与面ABCE所成角的正弦值为 ▲

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分10分）

如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单

位圆上的两点，D是坐标原点，∠AOP＝.∠AOQ＝α，α∈[0，π）.（Ⅰ）若Q（，），求cos（α－）的值；（Ⅱ）设函数f（α）＝·，求f（α）的值域．

正确答案

(1)

(2)

解：（Ⅰ）由已知可得.

……5分

(Ⅱ)

.

，，，

的值域是.……………………………………10分

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题型：简答题

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简答题

正方形ABCD中，以对角线BD为折线，把ΔABD折起，使二面角Aˊ-BD-C为60°，求二面角B-AˊC-D的余弦值

正确答案

要求二面角B-AˊC-D的余弦值，先作出二面角的平面角，抓住图形中AˊB=BC，AˊD=DC的关系，采用定义法作出平面角∠BED（E为AC的中点）然后利用余弦定理求解

解：连BD、AC交于O点

则AˊO⊥BD，CO⊥BD

∴∠AˊOC为二面角Aˊ-BD-C的平面角

∴∠AˊOC=60°

设正方形ABCD的边长为a

∵A′O=OC=1/2AC=

∠A′OC=60°

∴ΔA′OC为正三角形则A′C=

取A′C的中点，连DE、BE

∵A′B=BC

∴BE⊥A′C

同理DE⊥A′C

∴∠DEB为二面角B-A′C-D的平面角在ΔBA′C中

BE=

同理DE=

在ΔBED中，BD=

∴ cos∠BED=

=

=--

∴二面角B-A′C-D的余弦值为-

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题型：简答题

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简答题

已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．

求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．

正确答案

分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．

解：因为 AB∥CD，CD 平面CPD，AB 平面CPD．

所以 AB∥平面CPD．

又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，

因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角．

因为 AB∥平面CPD，AB 平面APB，平面CPD∩平面APB=l，

所以 AB∥l．

过P作PE⊥AB，PE⊥CD．

因为 l∥AB∥CD，

因此 PE⊥l，PF⊥l，

所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，

因为 E，F分别是AB，CD的中点，

所以 EF=BC=a．

在△EFP中，

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