热门试卷

（1）证明：以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则C（0，0，0），A（0，a，0），B（a，0，0）设P（x，y，0），

由=λ⇒（x，y-a，0）=λ（a-x，-y，0）⇒x=，y=，

∴P(，，0)，

从而E(0，，0)，F(，0，0)，

于是A′(0，，)，B′(，0，)，

平面A'PE的一个法向量为=(0，，0)，

又=(，0，)，•=0，从而B'C∥平面A'PE．

（2）由（1）知有：=(0，，)，=(，-，)，=(0，，-)．

设平面CA'B'的一个法向量为=（x，y，-1），则，

∴可得平面CA'B'的一个法向量=(，λ，-1)，

同理可得平面PA'B'的一个法向量=(1，1，1)，

由•=0，即+λ-1=0，

又λ＞0，λ2-λ+1=0，由于△=-3＜0，

∴不存在正实数λ，使得二面角C-A'B'-P的大小为90°．

证明：（1）∵CA=CB=1，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．

∴CA=AN=NA1=A1C1=1，

又由AA1⊥底面ABC，AA1⊥底面A1B1C1

∴∠ANC=∠A1NC1=…（1分），

∴∠CNC1=，

即C1N⊥NC…（2分），

因为CA⊥CB，BC⊥CC1，AC∩CC1=C，

所以BC⊥平面CAA1C1…（3分），

又∵C1N⊂平面CAA1C1，

∴BC⊥C1N…（4分），

因为BC∩NC=C，

所以C1N⊥平面BCN…（5分）

（2）（方法一）以C为原点，CA、CB、CC1在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系…（6分），

则C（0，0，0）、C1（0，0，2）、B1（0，1，2）…（7分），M(，，2)、N（1，0，1）…（8分），

=(，，0)、=(1，0，-1)、=(0，1，2)…（9分），

设平面C1MN的一个法向为=(a，b，c)，则…（10分），

即，取=(1，-1，1)…（11分），

所以sinθ=|cos＜，＞|==…（13分）．

（方法二）==，∠BAN=∠NA1M=，△BAN\～△NA1M…（6分），

所以∠BNA=∠A1MN，∠MNB=，BN⊥MN…（7分），

由（1）知BN⊥C1N，C1N∩MN=N，所以BN⊥平面C1MN…（8分）．

延长B1B到B2，延长C1C到C2，使BB2=CC2=2，连接BC2、NC2…（9分），

在△NBC2中，BN=，BC2=，NC2=…（10分），

cos∠NBC2=…（11分），

=-

BN是平面C1MN的法向量，由所作知BC2∥B1C，

从而θ=∠NBC2-，所以sinθ=-cos∠NBC2=…（13分）．

（Ⅰ）证明：设AB1与A1B相交于点P，连接PD，

则P为AB1中点，

∵D为AC中点，

∴PD∥B1C．

又∵PD⊂平面A1BD，

∴B1C∥平面A1BD．…（4分）

（Ⅱ）解法一：由正三棱柱ABC-A1B1C1中D是AC的中点，

知BD⊥AC，

又∵平面AA1C1C⊥平面ABC，

∴BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A1D，

故∠A1DA为二面角A1-BD-A的平面角，

又AD⊥A1A，A1A=，AD=1，

∴∠A1DA=60°，即二面角A1-BD-A的大小为60°．…（8分）

（Ⅱ）解法二：如图建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（1，0，0），A1（1，0，），

B（0，，0），B1（0，，），

∴=（-1，，-），=（-1，0，-），

设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），

则•=-x+y-z=0，

•=-x-z=0

则有，令z=1，得=（-，0，1）

由题意，知=（0，0，）是平面ABD的一个法向量．

设与所成角为θ，

则cosθ==，∴θ=，

∴二面角A1-BD-A的大小是…（8分）

（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知BD⊥AC、BD⊥A1D，

设点A到平面A1BD的距离为d，

∴VA1-ABD=S△ABD•A1A=VA-A1BD=S△A1BD•d，

故S△ABD•A1A=××1××

=S△A1BD•d=××××d

解得：d=，

即点A到平面A1BD的距离为d=．…（12分）

（Ⅲ）解法二：由（Ⅱ）已知，

得=（1，0，0），=（-，0，1）

则d==

即点A到平面A1BD的距离为d=．…（12分）

证明：（1）∵A1A=A1C，且O为AC的中点，

∴A1O⊥AC．

又侧面AA1C1C⊥底面ABC，其交线为AC，且A1O∈平面AA1C1C，

所以A1O⊥底面ABC．…..（2分）

以O为坐标原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

由已知可得：O（0，0，0），A（0，-1，0），A1(0，0，)，C（0，1，0），C1(0，2，)，B（1，0，0），E(，1，)．则有：=(0，1，-)，=(0，1，)，=(1，1，0)．

设平面AA1B的一个法向量为=(x，y，z)，…..（4分）

则有{，即{，

令y=1，得x=-1，z=-，

所以=(-1，1，-)．

又知=(，1，)，…..（6分）

∴•=0

∴OE∥平面A1AB．…..（7分）

（2）．设平面A1BC1的一个法向量为=(x，y，z)，

又知=(0，2，0)，=(1，0，-)

由{得{

可得=(，0，1)…..（9分）

则cos〈，＞==-，…..（11分）

所以二面角A-A1B-C1的正弦值为．…..（12分）

证明（1）：分别以DA，DC，DD'为x轴，y轴，z轴

建立空间直角坐标系，

则A'（2，0，2），E（1，2，0），

D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），…（2分）

则=(2，0，2)，=(1，2，0)，

设平面A'DE的法向量是=(a，b，c)，

则，取=(-2，1，2)，…（4分）

=(0，-2，1)，∵•=-2+2=0，∴⊥，

所以，CF∥平面A'DE．…（6分）

（2）由正方体的几何特征可得

=(0，2，0)是面AA'D的法向量

又由（1）中向量=(-2，1，2)为平面A'DE的法向量

故二面角E-A'D-A的平面角θ满足；

cosθ==

即二面角E-A'D-A的平面角的余弦值为…（8分）

（Ⅰ）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．

由ABC-A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．

又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，

所以A1B∥OD，

因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，

所以A1B∥平面ADC1．…（4分）

（Ⅱ）由ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，

故BA，BC，BB1两两垂直．

如图建立空间直角坐标系B-xyz．设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C1（2，0，1），D（1，0，0）．

所以=(1，-2，0)，=(2，-2，1)

设平面ADC1的法向量为=（x，y，z），则有

所以取y=1，得=（2，1，-2）．

平面ADC的法向量为=（0，0，1）．

由二面角C1-AD-C是锐角，得cos＜，＞==．…（8分）

所以二面角C1-AD-C的余弦值为．

（Ⅲ）假设存在满足条件的点E．

因为E在线段A1B1上，A1（0，2，1），B1（0，0，1），故可设E（0，λ，1），其中0≤λ≤2．

所以=(0，λ-2，1)，=(1，0，1)．

因为AE与DC1成60°角，所以||=．

即||=，解得λ=1，舍去λ=3．

所以当点E为线段A1B1中点时，AE与DC1成60°角．…（12分）

（1）证明：∵△ABC是正三角形，M是AC中点，

∴BM⊥AC，即BD⊥AC．

又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．

又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．

∴BD⊥PC．

（2）取DC中点G，连接FG，则EG∥平面PAD，

∵直线EF∥平面PAD，EF∩EG=E，

∴平面EFG∥平面PAD，

∵FG⊂平面EFG，

∴FG∥平面PAD

∵M为AC中点，DM⊥AC，

∴AD=CD．

∵∠ADC=120°，AB=4，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，AD=CD=，

∵∠DGF=60°，DG=，∴AF=1

（3）分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，

∴B（4，0，0），C（2，2，0），D（0，，0），P（0，0，4）．

=（4，-，0）为平面PAC的法向量．

设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），则

∵=（2，2，-4），=（4，0，-4），

∴，

令z=3，得x=3，y=，则平面PBC的一个法向量为=（3，，3），

设二面角A-PC-B的大小为θ，则cosθ==．

∴二面角A-PC-B余弦值为．

（1）取PD的中点F，连结EF、AF，

∵E为PC中点，∴EF∥CD，且EF=CD=1，

在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，∴EF∥AB，EF=AB，

四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF，

∵BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD．

（2）分别以DA、DB、DP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示

可得B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，），E（0，1，）

∴=（1，1，0），=（-1，0，）

设=（x，y，z）为平面BDE的一个法向量，则

取x=1，得y=-1，z=，=（1，-1，）

∵平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1），

∴cos＜，＞==，可得＜，＞=45°

因此，二面角E-BD-C的大小为45°．

（Ⅰ）证明：∵AB∥CG，GE∥AF，

∴AF∥平面CGE，AB∥平面CGE，

∴平面ABF∥平面CGE，

∵直线BC∩AG=K，

∴K∈直线EF，

∴EF与BC共面，

所以，直线CE∥直线BF．

（Ⅱ）①∵∠BAD=60°，AB=6，AD=3，G为CD中点，

∴BG⊥AG，∴FG⊥AG，

∵直线GE与平面ABCD所成的角为，而GE∥AF，

∴直线AF与平面ABCD所成的角为，

∴F到平面ABCD的距离为3，

所以FG⊥平面ABCD．

②∵FG⊥平面ABCD，

∴FG⊥BG，∴BG⊥平面AGEF，

作GH⊥EF交EF于H，连接BH，得BH⊥EF，

∴∠BHG为B-EF-A的平面角，

∵BG=3，GH=，tan∠BHG==，

∴cos∠BHG=，

所以二面B一EF一A的平面角的余弦值为．