热门试卷

证明：（1）如图取B'D'的中点为F，连AF，C′F，

易得AFC′F为平行四边形．

∴AF∥C'E，

又AF⊂平面AB′D′，

∴C′E∥面AB′D′..（4分）

（2）因ABCD为菱形，且∠DCB=60°，取BC中点为G

易得AD，DG，DD’相互垂直，故分别以之为x，y，z轴建立坐标系如图．

由棱长为2得A(2，0，0)，B′(1，，2)，D′(0，0，2)

进而得面ADD'的一个法向量为(1，-，1)，又面ABD的法向量为（0，0，1）

所以面AB'D'与面ABD所成锐二面角的余弦值

cosθ==

（3）设B’D与BD的交点为O，

由图得四棱锥B'-ABCD与D'-ABCD的公共部分为四棱锥O-ABCD，

且O到下底面的距离为1，

SABCD=2××2×2sin600=2

所以公共部分的体积为×2×1=．

（1）证明：在△ABC中，由正弦定理可求得sin∠ACB=⇒∠ACB=

∴AB⊥AC

以A为原点，分别以AB、AC、AA1为

x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图

则A（0，0，0）A1(0，0，2)B（2，0，0）C(0，2，0)=(2，0，0)=(0，2，-2)•=0⇒⊥

即AB⊥A1C．

（2）由（1）知=(2，0，-2)

设二面角A-A1C-B的平面角为α，cosα=cos＜，＞===

∴sinα==

（1）如图，以D为坐标原点DA、DC、DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则：A（2，0，0），F（1，2，）

B（2，2，0），E（1，1，），C（0，2，0）

∴=(-1，2，)，=(-1，-1，)，

∴•=1-2+1=0

所以AF和BE所成的角为90°，

（2）设平面BEC的一个法向量为=(x，y，z)，又=(-2，0，0)，=(-1，-1，)，

则：•=-2x=0•=-x-y+z=0

∴x=0，令z=1，则：y=∴=(0，，1)

∴cos＜，＞===

设直线AF和平面BEC所成角为θ则：Sinθ=

∴cosθ=

即直线AF和平面BEC所成角的余弦值为

（1）分别以AB，AD，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

假设在棱AA1上存在一点P（0，0，z0）使得DP∥平面B1AE．此时=(0，-1，z0)

又设AB的长度为a，平面B1AE的法向量=(x，y，z)，则=(a，0，1)，=(，1，0)

∵⊥平面B1AE，∴⊥，⊥，

得

取x=1，使得平面B1AE的一个法向量=(1，，-a)…（3分）

要使DP∥平面B1AE，只要⊥，有-az0=0，解得z0=

又DP⊄平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP=．…（6分）

（2）连接A1D，B1C，由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1得AD1⊥A1D

∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C

又由（1）知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E=B1，

∴AD1⊥平面DCB1A1，

∴是平面A1B1E的一个法向量，此时=(0，1，1)…（9分）

设与所成的角为θ，则cosθ==

∵二面角A-B1E-A1的大小为30°

∴|cosθ|=cos30°，即=，解得a=2，即AB的长为2．…（13分）

（Ⅰ）证明：设BD的中点为O，∠BAD=90°，∠ABD=45°，∴∠BDA=45°，即AB=AD，∴AO⊥BD．

∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥面BCD．

以过O点垂直于BD的直线为x轴，以直线BD为y轴，以直线OA为z，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设||=4．

∴A(0，0，2)，B(0，-2，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，

∴=(0，-2，-2)，=(，1，-2)，=(-，1，0)，=(0，4，0)，

∴cosα=||==，cosβ=||==．

∵0°＜α，β≤90°，∴α=β．…6分

（Ⅱ）设=(x1，y1，z1)，=(x2，y2，z2)分别是平面ABC、平面ACD一个法向量，

∴⊥，⊥，即•=•=0，

∴-2y1-2z1=0，x1+y1-2z1=0，不妨取x1=-，得=(-，1，-1)．

同理可求得=(1，，)，

∴cos＜，＞===-，

所以二面角B-AC-D的余弦值的绝对值为．…12分．

（1）取AB 中点为O，连接PO，CO，

∵△PAB 是等边三角形，

∴PO⊥AB，

又∵侧面PAB⊥底面ABCD，

∴PO⊥底面ABCD，

∴OC为PC在底面ABCD上的射影，

又∵AB=BC=2AD=2，∠ABC=∠DAB=，

∴△DAB≌△OBC，∴∠BCO=∠DBA，

∴BD⊥OC，∴BD⊥PC．

（2）取PC中点E，连接BE，DE，

∵PB=BC，

∴BE⊥PC，

又∵BD⊥PC，BE∩BD=B，

∴PC⊥平面BDE

，∴PC⊥DE，

∴∠BED就是二面角B-PC-D的平面角．

∵AB=BC=2AD=2，∠ABC=，

∴BE=PF=PC=，PD=BD=，

∴DE=，

∴BE2+DE2=BD2，

∴∠BED=．

即二面角B-PC-D的大小为：．

（Ⅰ）证：∵底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=，

PA⊥底面ABCD，PA=2，M为PA的中点，N为BC的中点．AF⊥CD于F，

∴由题设知：在Rt△AFD中，AF=FD=，

∴A（0，0，0），B（1，0，0），F（0，，0），

D（-，，0），P（0，0，2），M（0，0，1），N（1-，，0），…（4分）

∴=(1-，，-1)，…（5分）

=(0，，-2)，=(-，，-2)…（6分）

设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z）

则，∴，

令z=，得=（0，4，），

∴平面PCD的一个法向量=（0，4，）…（8分）

∵•=0+-=0，

∴MN∥平面PCD．…（10分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PCD的法向量（0，4，），

平面ADC的一个法向量为=(0，0，1)…（12分）

设二面角P-CD-A的平面角为α，

则cosα===

∴二面角P-CD-A的余弦值为．…（14分）

（1）如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，

则可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），

A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4），E（0，2，1），

∴=（-2，0，1），=（-2，0，-4）．

∴•=4+0-4=0

∴BE⊥B1C

（2）由（1）可得=（-2，0，-4），=（0，2，-4），

∴cos＜，＞===

∴二直线成角的正弦值为