热门试卷

解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）．

因为M是PC中点，所以M点的坐标为（ ， ， ），

所以 =（ ， ， ）， =（﹣1，1，0）， =（﹣1，0，a）．

（1）因为 平面PBD，所以 = =0．

即﹣ + =0，

所以a=1，即PA=1．

（2）由 =（0，1，0）， =（ ， ， ），

可求得平面AMD的一个法向量n=（﹣1，0，1）．

又 =（﹣1，﹣1，1）．

所以cos＜n， ＞= = = ．

所以，PC与平面AMD所成角的正弦值为 ．

解：（1）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，

依题意得D（0，4，0），F（2，4，2），A1（0，0，8），E（2，3，0）

在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，是平面A1ADD1的一个法向量，

∴=（2，0，0），=（2，3，﹣8）

∴cos＜，＞==

故直线A1E与平面AA1DD1所成角的正弦值为

（2）证明：易知 =（2，4，2），=（﹣2，﹣3，8），=（﹣2，1，0），

于是 ·=0，·=0，

因此AF⊥A1E，AF⊥ED，

又A1E∩ED=E，所以AF⊥平面A1ED．

（3）设平面EFD的法向量 =（x，y，z）

则 ，即

不妨令X=1，可得 =（1，2，﹣1）

由（2）可知，为平面A1ED的一个法向量．

于是cos ==，

所以二面角A1﹣ED﹣F的余弦值为

解：（1）；

（2）“略”；

（3）。

（1）证明：为直三棱柱，

∴，

∴面。

由于，

∴  

∴，

又，点D是的中点，

∴，，

∴。

（2）解：∵平面平面，，

过点C作交BD于H，

∴，

∴∠CDH的大小就是CD与平面所成角的大小，

在中，解得。

（1）作PE，PD分别垂直于BC，BA，设PF垂直面ABC于F，

连接EF，FD，FC，

∵EP⊥CE，PF⊥CE，

∴CE⊥面PEF，∴CE⊥EF

同理，CD⊥DF

∵∠C是直角，

∴四边形ECDF是矩形

∴EC=DF

Rt△PEC中，PE=6，PC=24，∴EC==6

Rt△PDF中，PF==12

（2）由题意，PF垂直面ABC于F，∠PCF为直线PC与面ABC所成的角．

∵sin∠PCF==，∴∠PCF=30°

即直线PC与面ABC所成的角为30°

解：（1）；

（2）。

解：（1）以为正交基底，建立如图空间直角坐标系，

则，，

因为AC⊥BD，AF⊥BD，

所以是平面ACEF法向量，

又因为，

所以，故直线DF与平面ACEF所成角正弦值为．

（2）设P（a，a，0），

则．

因为，

所以．解得，

故存在满足条件的点P为AC的中点．

解：（1 ）证明：因为PA⊥平面ABC，

所以，

又，且，

所以BC⊥平面PAB，

从而BC⊥AD，

又，，

所以AD⊥平面PBC，

得，

又，

所以PC⊥平面ADE。

（2）在平面PBC上，过点B作BF平行于PC交ED延长线于点F，

连结AF，因为PC⊥平面ADE，

所以BF ⊥平面ADE ，

为直线AB和平面ADE所成的角，

在三角形PBC中，PD=，

则BD=，得BF=，

在Rt△BFA中，，

所以直线AB与平面ADE所成的角为30°。