热门试卷

（1）建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．

在Rt△BAD中，AD=2，BD=2，

∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），

∴=(0，0，2)，=(2，2，0)，=(-2，2，0)

∵•=0，•=0，即BD⊥AP，BD⊥AC，

又因为AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．

（2）由（1）得=(0，2，-2)，=(-2，0，0)．

设平面PCD的法向量为=(x，y，z)，

则•=0，•=0，

即，

∴，故平面PCD的法向量可取为=(0，1，1)

∵PA⊥平面ABCD，

∴=(0，01)为平面ABCD的法向量．

设二面角P-CD-B的大小为θ，依题意可得cosθ=||=．

（3）由（Ⅰ）得=(2，0，-2)，=(0，2，-2)，

设平面PBD的法向量为=(x，y，z)，

则•=0，•=0，即，

∴x=y=z，故可取为=(1，1，1)．

∵=(2，2，-2)，

∴C到面PBD的距离为d=||=

解：（1）作于D，连接，

则，

因为O是AB的中点，

所以，

则是平行四边形，因此有，

，

则OC∥面。

（2）如图，过B作截面，

分别交，

作于H，

因为平面⊥平面，则BH⊥面，

连结AH，则∠BAH就是AB与面所成的角．

因为，所以，

AB与面所成的角为。

（3）因为，

所以，

，

所求几何体的体积为。

(Ⅰ)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，

所以PQ∥EB，

又DC∥EB，

因此PQ∥DC，

从而PQ∥平面ACD.

(Ⅱ)解：如图，连结CQ，DP，

因为Q为AB的中点，且AC=BC，

所以CQ⊥AB，

因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，

所以EB⊥平面ABC，

因此CQ⊥EB，故CQ⊥平面ABE．

由(Ⅰ)有PQ∥DC，

又PQ=EB=DC，所以四边形CQPD为平行四边形，

故DP∥CQ，

因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，

在Rt△DPA中，，

因此AD和平面ABE所成角的正弦值为。

（1）证明：“略”。

（2）解：。

（1）证明：∵EF是△PCD的中位线，

∴EF∥CD，

又CD∥AB，

∴EF∥AB，

又AB面PAB，

∴EF∥面PAB。

（2）解：连结AC，则AC是PC在底面的射影，

∴直线PC与底面ABCD所成的角即为∠PCA，即θ=∠PCA，

∴tanθ=。

（Ⅰ）证明：设BC的中点为F，连结AF、EF，则EF∥CC1，且EF=CC1，

 又AD∥CC1，且AD=CC1，  

∴EF∥AD，且EF=AD，

∴四边形ADEF是平行四边形，

∴DE∥AF，

又∵DE平面ABC，AF平面ABC，

∴DE∥底面ABC。

（Ⅱ）解：连结DF，

∵AB=AC，F为BC的中点，

∴AF⊥BC，

又∵AA1⊥底面ABC，

∴AA1⊥BC，

 又∵AA1∩AF=A，

∴BC⊥平面ADF，∴BC⊥DF，

∴∠AFD就是A-BC-D的平面角，即∠AFD=60°，

∵BB1⊥底面ABC，

∴BB1⊥AF，

 又∵AF⊥BC，BC∩BB1= B，

∴AF⊥平面BCE，

∵DE∥AF，

∴DE⊥平面BCE，

∴∠DBE就是BD与平面BCC1B1所成的角，

设AF=，则DE=，AD=，AB=，∴BD=，

∴sin∠DBE==。

(1)解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行，

∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，

∴EF∥PC，

又EF平面PAC，而PC平面PAC，

∴EF∥平面PAC。

(2)证明：建立如右图所示空间直角坐标系，

则P(0，0，1)，B(0，1，0)，F(0，，)，D(，0，0)，

设BE=x，则E(x，1，0)，

，

∴PE⊥AF。

(3)设平面PDE的法向量为m=(p，q，1)，

由，得，

而=(0，0，1)，依题意PA与平面PDE所成角为45°，

所以sin45°=，

∴，

得BE=x=-或BE=x=+>(舍)．

故BE=-时，PA与平面PDE所成角为45°。

（Ⅰ）证明：因为AB=3，BC=4，

所以AC=5，从而，即AB⊥BC，

又因为AB⊥BB1，而BC∩BB1=B，

所以AB⊥平面BC1，

又PQ平面BC1，

所以AB⊥PQ。

（Ⅱ）证明：过M作MN∥CQ交AQ于N，连接PN，

因为AM：MC=3：4， AM：AC=MN：CQ=3：7，

∴MN=PB=3，

∵PB∥CQ，

∴MN∥PB，

∴四边形PBMN为平行四边形，

∴BM∥PN，所以BM∥平面APQ。

（Ⅲ）解：由图1知，PB=AB=3，QC=7，分别以BA，BC，BB1为x，y，z轴，

则A（3，0，0），C（0，4，0），P（0，0，3），Q（0，4，7），

，

 设平面APQ的法向量为，

所以， 即，

令a=1，则c=1，b=-1，

∴，

所以直线BC与平面APQ所成角的正弦值为。

(Ⅰ)证明：设AC∩BD=H，连结EH，

在△ADC中，因为AD= CD，且DB平分∠ADC，

所以H为AC的中点，

又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA，

又EH平面BDE且PA平面BDE，

所以PA∥平面BDE．

(Ⅱ)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

所以PD⊥AC，

由(Ⅰ)可得，DB⊥AC，

又PD∩DB =D，故AC⊥平面PBD．

(Ⅲ)由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，

所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角，

由 AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2，

可得，

在Rt△BHC中，，

所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为。