热门试卷

（Ⅰ）证明：因为AB=3，BC=4，因此AC=5，

从而，即AB⊥BC，

又因为AB⊥BB1，而BC∩BB1=B，

从而AB⊥平面BC1，

又PC平面BC1，

所以，AB⊥PQ。

（Ⅱ）证明：过M作MN∥CQ交AQ于N，连结PN，

因为AM：MC=3：4，

∴AM：AC=MN：CQ=3：7，

∴MN=PB=3，

∵PB∥CQ，

∴MN∥PB，

∴四边形PBMN为平行四边形，

∴BM∥PN，

∴BM∥平面APQ。

（Ⅲ）解：由图1知，PB=AB=3，QC=7，分别以BA，BC，BB1为x，y，z轴，

则A（3，0，0），C（0，4，0），P（0，0，3），Q（0，4，7），

 ，

设平面APQ的法向量为，，

所以，得，

令a=1，则c=1，b=-1，，

 所以，直线BC与平面APQ所成角的正弦值为。

（Ⅰ）证明：在Rt△BCE中，，

∴，

∵平面D′AE⊥平面ABCE，且交线为AE，

∴BE⊥平面D′AE，

又∵AD′平面AED′，

∴AD′⊥BE。

（Ⅱ）设AC与BE相交于点F，由（Ⅰ）知，AD′⊥BE，

∵，

又∵AD′平面AED′，

且交线为BD′，

如图，作，垂足为G，

则FG⊥平面ABD′，

连结AG，

则∠FAG就是直线AC与平面ABD′所成的角，

由平面几何的知识可知，

∴，

在Rt△AEF中，，

由可求得，

∴，

所以直线与平面所成角的正弦值为。

解：（1）证明：如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，

则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，

得AD⊥平面A1BC，

又BC平面A1BC，

所以AD⊥BC

因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，

则AA1⊥底面ABC，

所以AA1⊥BC

又AA1∩AD=A，

从而BC⊥侧面A1ABB1，

又AB侧面A1ABB1，

故AB⊥BC。

（2）连接CD，则由（1）知是直线AC与平面A1BC所成的角，

是二面角A1-BC-A的平面角，

即

于是在Rt△ADC中，

在Rt△ADB中，

由AB＜AC，得

又

所以。

解：（1）PA=PE，OA=OE，

∴PO⊥AE  ①

取BC的中点F，连OF，PF，如图

∴OF∥AB，

∴OF⊥BC

∵PB=PC

∴BC⊥PF

∴BC⊥面POF

从而BC⊥PO  ②

由①②可得PO⊥面ABCE。

（2）作OG∥BC交AB于G，则OG⊥OF

如图建立直角坐标系

则A（1，-1，0），B（1，3，0），C（-1，3，0），

设平面PAB的法向量为n=（x，y，z），

则

∴AC与面PAB所成角θ的正弦值。

(Ⅰ)证明：取BC中点F，连结EF，则，从而，

连结AF，则ADEF为平行四边形，从而AF∥DE，

又DE⊥平面BCC1，

故AF⊥平面BCC1，从而AF⊥BC，

即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC．

(Ⅱ)解：作AC⊥BD，垂足为G，连结CG．

由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角，

由题设知，∠AGC=60°，设AC=2，则，

又AB=2，BC=2，故AF=，

由AB·AD =AG·BD得，

解得AD=，故AD=AF，

又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形．

因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，

故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF，

连结AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD，

连结CH，则∠ECH为B1C与平面BCD所成的角，

因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，

又，

所以∠ECH=30°，即B1C与平面BCD所成的角为30°。

（Ⅰ）证明：取PA中点G，连结FG，DG，

。

（Ⅱ）解：设AC，BD交于O，连结FO，

设BC=a，则AB=a，

∴PA=a，DG=a=EF，

∴PB=2a，AF=a，

设C到平面AEF的距离为h，

∵VC-AEF=VF-ACE，

∴，

即，∴，

∴AC与平面AEF所成角的正弦值为，

即AC与平面AEF所成角为。

(Ⅰ)证明：取BC中点F，连结EF，则，从而，

连结AF，则ADEF为平行四边形，从而AF∥DE，

又DE⊥平面BCC1，

故AF⊥平面BCC1，

从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC．

(Ⅱ)解：作AG⊥BD，垂足为G，连结CG，由三垂线定理知CG⊥BD，

故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角，

由题设知，∠AGC=60°，

设AC=2，则，

又AB=2，BC=2，故AF=，

由得，

解得AD=，故AD=AF，

又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形，

因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，

故BC⊥平面DEF，

因此平面BCD⊥平面DEF，

连结AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD，

连结CH，则∠ECH为B1C与平面BCD所成的角，

因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，

又，

所以，

所以∠ECH=30°，

即B1C与平面BCD所成的角为30°。

解：由三视图可知，在这个多面体的直观图中，AA1⊥平面ABC，

且AC⊥BC，AC=BC=CC1=a，

(Ⅰ)连接AC1，AB1，因为BC⊥平面ACC1A1，

所以BC⊥AC1，在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1，

又因为BC∩A1C=C，

所以AC1⊥平面A1BC，

由正方形性质知AB1过A1B的中点M，

在△AB1C1中，MN∥AC1，

所以MN⊥平面A1BC。

(Ⅱ)由题意CA，CB，CC1两两垂直，

故以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，

又AC=BC=CC1=a，则B(0，a，0)，B1(0，a，a)，A(a，0，0)，

，

则，

又AC1⊥平面A1BC，

故为平面A1BC的法向量，，

所以，，

，

因此直线BC1和平面A1BC所成角的大小为30°。

(Ⅲ)AB中点E的坐标为，

易知为平面AA1B的法向量，又为平面A1BC的法向量，

设二面角A-A1B-C为θ，

则，

由题意，知θ为锐角，所以θ=60°，

即二面角A-A1B-C为60°。 

（1）证明：取BC中点O，连接SO、AO，

∵SB=SC，

∴SO⊥BC，

∴△ABC中，∠B=45°，BO=，AB=2，

∴AO=，∠AOB=90°，即BC⊥OA，

∴BC⊥平面SOA，

∴BC⊥SA。

（2）解：∵侧面SBC⊥底面ABCD，SO⊥BC，

∴SO⊥平面ABCD，

如图建立空间直角坐标系Oxyz，

则，，

平面ABCD的一个法向量为，

设直线SD与平面SBC所成角，

∴，

∴直线SD与平面SBC所成角的正弦值为。