热门试卷

解：（Ⅰ）PC⊥AM，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，

PA⊥面ABCD，

故可以建立如图所示的空间直角坐标系，

又∵PA=AD=2，

∴P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0）， 

∴M（0，1，1），C（2，2，0），

∴，       

∵，

∴，

设，

∵求得，  

∵，

∴AN⊥PC，  

又PC⊥AM且AM∩AN=A，  

∴PC⊥面AMN。  

（Ⅱ）设平面BAN 的法向量为， 

∵，

∴，  

∵是平面AMN的法向量，

∴，

∴二面角B-AN-M的余弦值。

证明：（Ⅰ）由PA⊥平面ABCD知AC为PC在平面ABCD的射影，

由∠DAC=90°知，AD⊥DC，

故AD⊥PC（三垂线定理）。

解：（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，

由已知可得，

设平面PBC的法向量为，

由，

则，

则PD与平面PBC所成的角为。

解：如图所示，以A为坐标原点，

AB、AD、AP为Ox，Oy，Oz轴建立空间直角坐标系，

则，

，

设平面ABM的一个法向量，

由，

可得，

令z=-1，则y=1，

即，

设所求角为α，

则。

以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示：

（1）设正方体棱长为2．则E（0，1，2），A（2，0，0）．=(-2，1，2)，平面的法向量为=(0，1，0)．

设AE与平面BCC1B1所成的角为θ．sinθ=|cos＜，＞|===．

∴sinθ=．

（2）A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），

∴=(1，0，0)，=(1，1，0)，=(0，1，1)．

设平面的法向量为=（x，y，z），则，

令y=-1，则x=1，z=1．∴=（1，-1，1）．取平面ADB的法向量为=(0，0，1)．

设二面角C1-DB-A的大小为α，从图中可知：α为钝角．

∵cos＜，＞===，

∴cosα=-．

解：以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，设正方体的棱长为4，则各点的坐标分别为A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0）；A1（0，0，4），B1（4，0，4），C1（4，4，4），D1（0，4，4），P（4，2，0），Q（4λ，4，0）．

设平面C1PQ法向量为，而，，所以，可得一个法向量=（1，﹣2（λ﹣1），（λ﹣1）），

设面C1PQ的一个法向量为，则，

即：，又因为点Q在棱CD上，所以．

解：（1）如图，建立坐标系，

则：，

，

∴，

∴，

∴BD⊥AP，BD⊥AC，

又PA∩AC=A，

∴BD⊥面PAC。

（2）设平面ABD的法向量为，

设平面PBD的法向量为，

则，

，

∴，解得，

令，

∴，

∴二面角P-BD-A的大小为60°。

解：∵OB=OC，

cos＜＞=0．

解：（1）∵ABCD是矩形，

∴CD⊥AD，  

又

AD∩SD=D，

∴CD⊥平面ADS。  

（2）DA、DC、DS两两互相垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

∴， 

 ∴ ，

∴，       

∴AD与SB所成的角的余弦为。   

（3），

设面SBD的一个法向量为，

∴，

又，

∴设面DAB的一个法向量为，

∴，

∴，

所以所求的二面角的余弦为。

解：（1）在△BAD中，AB=2AD=2，∠BAD=60°，

由余弦定理得，BD=，

∴AD⊥BD，

∴

又OD⊥平面ABCD，

∴GD⊥BD，GDAD=D，

∴BD⊥平面ADG；

（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

则有A（1，0，0），B（0，，0），G（0，0，1），E（0，，2）

设平面AEFG法向量为m=（x，y，z）

则

取，

平面ABCD的一个法向量，

设面ABFG与面ABCD所成锐二面角为θ，

则。