热门试卷

解：（1）作ME∥CD，ME∩PD=E

∵∠ADC=∠BCD=90°，AD=2BC=2，N是AD的中点，

∴BN⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，

∴BN⊥平面PAD，

∴BN⊥NE，∠DNE为二面角M-BN-C的平面角，∠DNE=30°

∵PA=PD=AD，

∴∠PDN=60°，

∴∠DEN=90°，

∴DE=DP

∴CM=CP，

故=3。

（2）连结BE，由（1）的解答可知PE⊥平面BMN，则∠PBE为直线PB与平面BMN所成的角

连结PN，则PN⊥平面ABCD，从而PN⊥BN，

∴PB===

又

∴

所以直线PB与平面MBN所成的角为。

解：在中,∵AB=2，AD=1，∠BAD=120°,       

 ∴CA⊥AD 又SA⊥平面ABCD,

∴以A为坐标原点，AC,AD,AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则 , ,        

∵∴     

 (1)  ∵SE=3ED∴          

  ∵      

∴ ∴SD⊥平面AEC   

(2)  ∵AC⊥平面SAD,SA⊥底面ABCD，          

∴AC⊥AE,AC⊥SA          

∴为二面角S-AC-E的平面角,即=,

此时E为SD的中点  

设平面CDE的法向量为

计算可得         

∴

即直线AE与平面CDE所成角的正弦值为．

解：（Ⅰ）连结AC、BD，设AC∩BD=O，

由P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，

所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD，

从而P、O、Q三点在一条直线上，

所以PQ⊥平面ABCD；

（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

由（Ⅰ），PQ⊥平面ABCD，

故可以分别以直线CA、DB、QP为x轴，y轴，z轴

建立空间直角坐标系（如右图），

由题设条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，1），

Q（0，0，-2），，

所以，

于是，

从而异面直线AQ与PB所成的角是；

（Ⅲ）由（Ⅱ），

点D的坐标是（0，，0），

，

设是平面QAD的一个法向量，

由，

取x=1，得，　

所以点P到平面QAD的距离

。

解：（1）传统法或建立空间直角坐标系法得点A到平面BCD的距离为；

（2）法一：用传统法求得≤tan∠AMO≤1 ，

∴得≤sin∠AMO≤，

法二：建立空间直角坐标系法。

解：（1）设，连结EH，

在中，因为AD=CD，且DB平分，

所以H为AC的中点，

又有题设，E为PC的中点，

故，

又平面BDE，平面BDE

所以平面BDE。

（2）因为平面，平面ABCD，

所以

由（1）知，，

故。

（3）由平面PBD

可知，BH为BC在平面PBD内的射影，

所以为直线与平面PBD所成的角

由，

可得

在中，

所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为。

(Ⅰ)证明：四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，

又CC1面ABB1A1，所以CC1∥平面ABB1A1，

ABCD是正方形，所以CD∥AB，

又CD面ABB1A1，所以CD∥平面ABB1A1，

所以平面CDD1C1∥平面ABB1A1，

所以，C1D∥半面ABB1A1。

(Ⅱ)解：ABCD是正方形，AD⊥CD，

因为A1D⊥平面ABCD，所以A1D⊥AD，A1D⊥CD，

如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，

在△ADA1中，由已知可得A1D=，

所以，D(0，0，0)， A1(0，0，)，A(1，0，0)，C1（-1，1，），

B1(0，1，)，D(-1，0，)，B(1，1，0)，，

因为A1D⊥平面ABCD，

所以，A1D⊥平面A1B1C1D1，A1D⊥B1D1，

又B1D1⊥A1C1，

所以，B1D1⊥平面A1C1D，

所以平面A1C1D的一个法向量为n=(1，1，0)，

设与n所成的角为β，

则，

所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为。

(Ⅲ)解：设平面A1C1A的法向量为m=（a，b，c），

则，

所以，，

令，可得，

设二面角D-A1C1-A的大小为α，

则，

所以，二面角D-A1C1-A的余弦值为。

解：（1 ）设,如图建系，则,,

（2）设则，的法向量

设直线与平面所成角为，

，，

，  

，

,

设面的法向量

，

设面的法向量

则，

    的大小为则    

二面角的余弦值为  

（Ⅰ）证明：连结AC，BD与AC交于点O，连结OF．…（1分）

∵ABCD是菱形，∴O是AC的中点．…（2分）

∵点F为PC的中点，∴OF∥PA．…（3分）

∵OF⊂平面BFD，PA⊄平面BFD，∴PA∥平面BFD．…（6分）

（Ⅱ）如图，以点A为坐标原点，线段BC的垂直平分线所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，令PA=AD=AC=1，

则A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(，，0)，B(，-，0)，D(0，1，0)，F(，，)．

∴=(0，1，0)，=(-，，)．  …（8分）

设平面BCF的一个法向量为=（x，y，z），

由⊥，⊥，得，∴，

令x=1，则z=，∴=(1，0，)．…（10分）

∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴PA⊥AC．

∵OF∥PA，∴OF⊥AC．

∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD．

∵OF∩BD=O，∴AC⊥平面BFD．

∴是平面BFD的一个法向量，=(，，0)．

∴cos〈，＞===，

∴二面角C-BF-D的余弦值是．…（12分）