热门试卷

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、线面角、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，取BC中点，由中位线及平行线间的传递性，得到∥∥，即四点共面，利用线面平行的性质，得∥，从而得到E是CN中点，从而得到的值；第二问，连结，利用直三棱柱，得平面，利用线面垂直的性质得，从而得到为矩形且，所以，利用线面垂直得到线线垂直，2个线线垂直得到线面垂直，由于是摄影，所以为线面角，在中解出的值.

试题解析：『法一』(1)取中点为，连结，   1分

∵分别为中点

∴∥∥，

∴四点共面，               3分

且平面平面

又平面，

且∥平面

∴∥ 

∵为的中点，∴是的中点，                  5分

∴．                                           6分

（2）连结，                                         7分

因为三棱柱为直三棱柱，∴平面

∴，即四边形为矩形，且

∵是的中点，∴，

又平面，

∴，从而平面                   9分

∴是在平面内的射影

∴与平面所成的角为∠

又∥，

∴直线和平面所成的角即与平面所成的角10分

设，且三角形是等腰三角形

∴，则，

∴                         

∴直线和平面所成的角的余弦值为．        12分

『法二』（1）因为三棱柱为直三棱柱，

∴平面，又

∴以为坐标原点，分别以

所在直线为轴，

建立如图空间直角坐标系．     1分

设，又三角形是

等腰三角形，所以

易得，，，

所以有， 

设平面的一个法向量为，则有，即  

，令，有                    4分

（也可直接证明为平面法向量）

设，，又，

∴

若∥平面，则，所以有，

解得，∴                                 6分

（2）由（1）可知平面的一个法向量是，

，，求得

设直线和平面所成的角为，，

则，                    11分

所以

∴直线和平面所成的角的余弦值为．         12分

（1）见解析；(2) ；（3 ）二面角的余弦值为。

本试题主要是考查了立体几何中线面平行的判定和线面垂直的判定以及二面角的求解的综合运用。

（1）利用线线平行得到线面平行的郑敏，这是一般的思路。

（2）合理的建立空间直角坐标系，然后根据斜向量在法向量上的投影，借助于向量的数量积的性质得到结论。

（3）根据上一问中的 法向量和法向量的夹角可以得到二面角平面角的求解。

解答：

（1）连结交于，连结.

   …….4分

(2) 如图建立坐标系，

则,,

,

设平面的法向量为，

    所以.  ……………..8分

（3 ）平面的法向量为. 所以

所以二面角的余弦值为…………………………………………….12分

见解析.

第一问利用∵面，∴，和∴四边形是正方形，∴∴. 

∵,∴

第二问中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.则，然后求解法向量表示二面角即可。

解：（1）∵面，∴，.

又∵，∴四边形是正方形，∴. 

∵，

∴. 又∵, ∴. 

∵,∴.  

（2）分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.则

，

，.

　设平面的法向量，

则，解得,　令，则.  

　设平面的法向量，

则.由于，所以解得.

　令，则. 设二面角的平面角为，

则有.

化简得,解得（舍去）或.

　所以当时，二面角的平面角的余弦值为.

略

（1）证明过程详见解析；（2）2；（3）.

试题分析：本题主要考查线线垂直、平行的判定、线面垂直的判定、几何体的体积和表面积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.第一问，利用线面平行的判定得出平面，平面，所以可得到平面平面，所以利用面面平行的性质得证结论；第二问，利用线面垂直得到线线垂直，又因为，所以得到线面垂直，所以是所求锥体的高，利用梯形面积公式求底面的面积，再利用体积公式求体积；第三问，利用已知的边的关系和长度，可以求出组合体中每一条边的长度，从而求出每一个面的面积，最后求和加在一起即可.

试题解析：（Ⅰ）∵，平面，平面，

∴平面，

同理可证：平面，

∵平面，平面，且，

∴平面平面，

又∵平面，∴平面，

（Ⅱ）∵平面，平面，

∴，

∵，

∴平面，

∵，

∴四棱锥的体积，

（Ⅲ）∵，，

∴，

又∵，，，，，

∴组合体的表面积为.

(1)详见解析；（2）

试题分析：(Ⅰ)因为中，是中位线，故,所以要证明平面，只需证明平面，因为，故只需证明，由已知侧面与底面垂直且，故面，从而，进而证明平面；(Ⅱ)连接，因为是的中位线，则，则就是异面直线与所成的角，连接，由已知得面，则，在中求即可.

试题解析：（Ⅰ）分别是的中点

由①②知平面.

（Ⅱ）连接，

是的中点且是异面直线与所成的角.

等腰直角三角形中，且，

又平面平面，所以平面，，

. ,.

⑴证明见解析

⑵

本试题主要是考查了立体几何中线面垂直的判定和二面角的平面角的求解的综合运用。

（1）由于利用线线垂直判定线面垂直的判定定理成立即可。

（2）根据已知的三垂线定理，作出二面角的平面角，然后借助于直角三角形得到二面角的平面角的求解的综合运用。

⑴证明：，

…………………（2分）

而，故……（5分）

又已知，,。…………………（7分）

⑵解：

，同理,，（9分）

，,由⑴知，

（10分）

,是二面角的平面角（11分）

（13分）

。（14分）

（I）证明：见解析

（II）二面角的余弦值为 

本试题主要考查了面面垂直和二面角的求解的综合运用。

（1）根据已知条件找到线面垂直，然后利用面面垂直的判定定理得到其证明。

（2）合理的建立空间直角坐标系，然后表示出点的坐标和向量的坐标，借助于平面的法向量，得到向量的夹角，从而得到二面角的平面角的大小。

（I）证明：取的中点，连接

为等腰直角三角形

……………………………………2分

又

是等边三角形

，又

，…………………………4分

，又

平面平面;……………………………………6分

（II）以中点为坐标原点，以所在直线为轴,所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，

则

 ……………………8分

设平面的法向量

，即，解得，

设平面的法向量

，即，解得，

…………………………………………………………10分

所以二面角的余弦值为  …………………………12分