热门试卷

（Ⅰ）菱形（Ⅱ）证明见解析

（Ⅰ）如图3－2，取的中点，连结、．

∵、分别是和的中点，

∴，

在正方体中，有

，　∴，

∴四边形是平行四边形，

∴．

又、分别是、的中点，

∴，

∴四边形为平行四边形，

∴．

故．

∴四边形是平行四边形．

又≌，

∴，

故四边形为菱形．

（Ⅱ）连结、、．       ∵四边形为菱形，

∴．

在正方体中，有

，

∴平面．

又平面，

∴．

又，

∴平面．

又平面，

故平面平面

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）根据所给数值，满足勾股定理，所以，,又根据底面，易证,所以面,然后根据面面垂直的判定定理，面,即证两面垂直;

（2） ∠即为二面角的平面角，即∠根据已知两两垂直，所以可以以为原点，如图建立空间直角坐标系，设平面的法向量为,利用公式

（1）∵  ∴

又∵⊥底面    ∴

又∵        ∴平面

而平面        ∴平面平面         4分

（2）由（1）所证，平面 ,所以∠即为二面角的平面角，即∠

而，所以 

因为底面为平行四边形，所以,

分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．

则，，， ,

所以，，，,

设平面的法向量为，则即

令则

∴与平面所成角的正弦值为       12分

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

试题分析：（Ⅰ）要证面面垂直，需在其中一面内找一条直线与另一面垂直，此题在面PAB内过点P向AB作垂线，在三角形PCE中，再根据边长关系证PE⊥CE，从而得证；（Ⅱ）法一：先找二面角的平面角，在Rt△PEC中，过点E作EF⊥PC于点F，连AF．过A作平面PCD的垂线，垂足为H，连FH，证是二面角A-PC-D的平面角，再证，在中，求的值，即得所求；法二：以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点空间坐标，设平面PAC与面PCD的法向量，根据条件找和法向量垂直的已知向量列方程组求法向量，再利用求法向量夹角的余弦值，即得所求．

试题解析：（Ⅰ）如图1所示，取AB中点E，连PE、CE．

则PE是等腰△PAB的底边上的中线，所以PE⊥AB．     2分

PE=1，CE=，PC=2，即．

由勾股定理可得，PE⊥CE．     4分

又因为ABÌ平面ABCD，CEÌ平面ABCD，

且AB∩CE=E，所以PE⊥平面ABCD．     5分

而PEÌ平面PAB，

所以平面PAB⊥平面ABCD．     7分

（Ⅱ）（方法1）如图1，在Rt△PEC中，过点E作EF⊥PC于点F，连AF．

过A作平面PCD的垂线，垂足为H，连FH．

因为AE⊥EC，AE⊥PE，所以AE⊥平面PEC，于是AE⊥PC．

又EF⊥PC，所以PC⊥平面AEF，故PC⊥AF．

已有PC⊥AH，可得PC⊥平面AFH，所以PC⊥FH．

故∠AFH是二面角A-PC-D的平面角．    10分

由AB⊥平面PEC知EF⊥AB，又AB∥CD，所以EF⊥CD．

而已有EF⊥PC，所以EF⊥平面PCD．又因为AH⊥平面PCD，所以AH∥EF．

由于AB∥平面PCD，所以A、E两点到平面PCD的距离相等，故AH=EF．

所以AEFH是矩形，∠AFH=∠EAF       13分

在Rt△AEF中，AE=1，EF=，AF=，所以．

即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．       14分

（方法2）以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A（0,-1,0），C（,0,0），D（,-2,0），P（0,0,1），

=（,1,0），=（,0,-1），

=（0,2,0）．            9分

设是平面PAC的一个法向量，

则，即．

取，可得，

．       11分

设是平面PCD的一个法向量，则，即．

取，可得，．         13分

故，即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．     14分

（1）见解析；（2）.

本试题主要是考查了线面平行的证明和二面角的求解的综合运用，培养同学们的空间想象能力和推理论证能力和计算能力的运用。

（1）中，关键是证明线线平行，，得到线面平行。

（2）中，利用三垂线定理作出二面角，借助于三角形的知识求解。

(1)证明：如图，连结，M，N分别是中点，

；                 

(2) 先求二面角的正切值，

，

作，

是二面角的平面角。

求得，二面角的正切值为。

19.（14分）解：（1）取BB1中点F，连结A1F,EF

因为A1F//D1P，所以A1F//平面D1AP……………2分

又因为EF//BC1//AD1,所以EF//平面D1AP…………4分

A1F ∩EF=F,，所以平面A1EF//平面D1AP

又由于A1E在平面A1EF内，

因此A1E//平面D1AP…………………………………6分

（2）

故。所以OG=PC/2=1/4。……………8分

又.

故………10分

在△AOG中，tanAGO=……………13分

所以，直线AP与平面所成角的正切值为……14分

略

17解：

（1）建立如图所示的空间直角坐标系．连接，   

则点、，

，，             2分

∴，      

∴， 且与不共线∴．                       4分

又平面，平面，

∴平面．                                                  5分

（2）∵，  7分

∴，，即，，                

又，∴平面．                                 9分

（3）∵在长方体中，平面，

∴为平面的法向量．                                   10分

∵，，∴为平面的法向量．       11分

∴,     ∴与的夹角为   13分

所以二面角的大小为．                                     14分

略

证明略

 由已知得E是CD的中点，在正方体中，

由于A∈平面ABCD，E∈平面ABCD，

所以AE平面ABCD.

又AE∩BC=F，从而F∈平面ABCD.

同理G∈平面ABCD，

所以FG平面ABCD.

因为ECAB，故在Rt△FBA中，CF=BC，

同理DG=AD.又在正方形ABCD中，BCAD，所以CFDG，

所以四边形CFGD是平行四边形，

所以FG∥CD.又CD∥AB，AB∥A1B1，

所以直线FG∥直线A1B1.

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）由平面，得到，再由四边形为正方形得到，从而证明平面，从而得到，再结合，即以及直线与平面垂直的判定定理证明平面；（2）先证明、、三条直线两两垂直，然后以点为坐标原点， 、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值.

试题解析：（1）平面，

，又，，

平面，

，又，

平面，即平面；

（2）设，则中，，又，

，，由（1）知，

，，

，又，

，，同理，

如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，则，

，，，，

设是平面的法向量，则，又，

所以，令，得，，

由（1）知平面的一个法向量，

设二面角的平面角为，可知为锐角，

，即所求.

【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定以及利用空间向量法求二面角，属于中等题.

（1）证明过程见解析；（2）；（3）

试题分析：（1）取中点，连结，取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，写出坐标，进而得出向量坐标，利用向量垂直时坐标关系可证明，，可得平面；（2）令平面的法向量为，则，可得一法向量，由（1）为平面的法向量,那么二面角的余弦值即为，；（3）可求，．为平面的法向量,所以C到平面A1BD的距离.

解：（1）取中点，连结．为正三角形，,

在正三棱柱中，平面平面，

平面,

取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，．

，，

，,

平面．     4分

（2）设平面的法向量为,

，,

，，

令得为平面的一个法向量,

由（1）知平面， 为平面的法向量,

，,

二面角的余弦值为．                  9分

（3）由（2），为平面法向量，

,

点到平面的距离．    12分