热门试卷

解：以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系A—xyz，如图所示，则B（a，0，0），A1（0，0，a），C（，，0），设P（x，0，z）

（1）由，得

即，∴P为A1B的中点

即时，PC⊥AB .                             ……………………3分

（2）当时，由，得（x，0，z－a）

即

设平面PAC的一个法向量

则，即

即

取，则

∴

又平面ABC的一个法向量为

∴

∴二面角P—AC—B的大小为180°－120°=60°………………7分

（3）设C1到平面PAC的距离为d

则

即C1到平面PAC的距离为.               ……………………10分

略

证明见解析

连结，交于，连结，，则由得

．

由得，．

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）由侧面为菱形得，结合得平面，故，且为的中点．故垂直平分线段，则；（Ⅱ）求二面角大小，可考虑借助空间直角坐标系．故结合已知条件寻找三条两两垂直相交的直线是解题关键．当且时，三角形为等腰直角三角形，故，结合已知条件可判断，故，从而两两垂直．故以为坐标原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点的坐标．分别求半平面和的法向量，将求二面角问题转化为求法向量夹角处理．

试题解析：（I）连接，交于，连接．因为侧面为菱形，所以，且为与的中点．又，所以平面，故．又,故．

（II）因为，且为的中点，所以，又因为，．故，从而两两垂直．以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以为等边三角形．又,则，，，．

,,．

设是平面的法向量，则即所以可取．

设是平面的法向量，则同理可取．

则．所以二面角的余弦值为．

【考点定位】1、直线和平面垂直的判定和性质；2、二面角求法．

（1）见解析   （2）见解析

(1)因为M,N分别是BD,BC′的中点,

所以MN∥DC′.

因为MN⊄平面ADC′,

DC′⊂平面ADC′,所以MN∥平面ADC′.

同理NG∥平面ADC′.

又因为MN∩NG=N,

所以平面GNM∥平面ADC′.

(2)因为∠BAD=90°,所以AD⊥AB.

又因为AD⊥C′B,且AB∩C′B=B,所以AD⊥平面C′AB.

因为C′A⊂平面C′AB,所以AD⊥C′A.

因为△BCD是等边三角形,AB=AD,

不妨设AB=1,则BC=CD=BD=,可得C′A=1.

由勾股定理的逆定理,可得AB⊥C′A.

因为AB∩AD=A,所以C′A⊥平面ABD.

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角B AC D的大小是．

试题分析：（Ⅰ）这是一个折叠问题，做这一类题需比较折叠前的图形，与折叠后的图形，观察那些元素位置关系没发生变化，那些边角关系发生变化，本题证明：，证明两线垂直，只需证明一线垂直另一线所在的平面，有原图易证，且平面平面，有面面垂直的性质可得面，从而可得；（Ⅱ）求二面角的大小，可用向量法求，需建立空间坐标，注意到，且平面平面，可以Ｄ为坐标原点，DB为轴，DC为轴，过D垂直于平面BDC的射线为轴，建立空间直角坐标系，分别设平面ABC与平面DAC的法向量，分别计算出它们的法向量，利用法向量来求出二面角B AC D的大小．

试题解析：（Ⅰ）在中，   3分   

易得，  4分

面面   面          6分

（Ⅱ）在四面体ABCD中，以D为原点，DB为轴，DC为轴，过D垂直于平面BDC的射线为轴，建立如图空间直角坐标系.

则D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）

设平面ABC的法向量为，而，

由得：，取 .     8分

再设平面DAC的法向量为，而，

由得：，取，     10分

所以，所以二面角B AC D的大小是   12分

见解析。

(I)连接A1C1交B1D1于E点，连接AE，证明四边形AEC1O为平行四边形，得到AE//OC1.

（II）分别证明B1D1，AB1与A1C垂直即可.可证明线面垂直转化成线线垂直.

（1）连结，设，连结．…1分

 是正方体，， 

是平行四边形．

且 ，……………………3分

又分别是的中点，且，

是平行四边形 ，…………………………5分

又面，面，面 .………………6分

（2）连接. …………………7分

面   …………8分

，………9分

又，

 ．…………………10分

∵， ．…………11分

同理可证 ，．………………13分

又，且平面，

平面…………………14分

（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）取BD的中点P，连结EP、FP，则PF，

又∵EA，∴EAPF，……………………2分

∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，

又∵面平面，

∴AF∥面BDE.…………………………………………4分

（Ⅱ）以CA、CD所在直线分别作为x轴，z轴，以过C点和AB平行的直线作为y轴，建立如图所示坐标系.…………………5分

由可得：A（2，0，0，），B（2，2，0），E（2，0，1），D（0，0，2）

则.……………………………………………6分

∵面面，面面，∴面

∴是面的一个法向量.……………………………………………8分

设面的一个法向量n=(x,y,z),则n，n.

∴即整理，得令，则

所以n=(1,1,2)是面的一个法向量.…………………………………………10分

故.

图形可知二面角的平面角，所以其余弦值为.……………………12分

略

（1）见解析      （2）3

（1）∵PA⊥平面ABCD

∴PA⊥BD

∵PC⊥平面BDE

∴PC⊥BD，又PA∩PC=P

∴BD⊥平面PAC

（2）设AC与BD交点为O，连OE

∵PC⊥平面BDE

∴PC⊥平面BOE

∴PC⊥BE

∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角

∵BD⊥平面PAC

∴BD⊥AC

∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3

∴OC=

在△PAC∽△OEC中，

∴

∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3