热门试卷

见解析。

本题主要考查了线面平行、线面垂直的判定定理，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．

（1）欲证C1O∥面AB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证C1O与面AB1D1内一直线平行，连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，易得C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，满足定理所需条件；

（2）欲证A1C⊥面AB1D1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A1C与面AB1D1内两相交直线垂直根据线面垂直的性质可知A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，满足定理所需条件．

证明：（1）连结，设连结，

 是正方体  

是平行四边形

∴A1C1∥AC且                

又分别是的中点，

∴O1C1∥AO且

是平行四边形                 

面，面

∴C1O∥面                      

（2）面     

又，            

同理可证，         

又

面         

见解析。

本题考查的知识点是直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握空间直线与平面平行的判定定理，及直线与平面垂直的判定定理和性质定理是解答本题的关键

（1）由已知中四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，我们易得PA⊥AB，AB⊥AD，由线面垂直的判定定理易得AB⊥平面PAD，根据线面垂直的定义，即可得到AB⊥PD；

（2）若点E是线段PB的中点，取PC的中点F，连接AE，EF，DF，由三角形中位线定理，我们判断四边形EFDA是平行四边形，结合空间中直线与平面平行的判定定理，即可得到AE∥平面PCD．

（1）；（2）见解析.

(1)传统方法就是先找出异面直线所成的角，根据异面直线所成角的定义，本小题可以过点M做∥交于N,并连接,则是异面直线和所成角.然后解即可求出此角的大小.

(2)本小题属于探索性问题，先假设存在点M，使得平面,然后根据∽,可建立关于的等式，解出其值.

解：（1）过点M做∥交于N,并连接,则是异面直线和所成角

由题可得：在中，,

当时，异面直线和所成角的正切值为

……………………6分

（2）假设存在点M使得平面，并设

则有∽

所以，当时，使得平面……………………12分

(向量法：略)

（1）1；（2）

本试题主要考查了立体几何中线面的平行与线面角的求解。

解：（1）由平面PQE//平面ADD1A1，得点P到平面ADD1A1的距离等于点E到平面ADD1A1的距离。而四边形ABCD与四边形CC1D1D均是边长为1的正方形，

（2）由（1）知P，Q分别是BD，CD1的中点，如图，以点D为原点，以DA、DC所在的直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），

设平面DQP的法向量为

则

，

设直线QE与平面DQP所成的角为，则

（1）见解析；（2）；（3）.

本试题主要是考查了立体几何中线面垂直问题，和二面角度求解，以及点到面距离的求解综合运用。既可以用向量法，也可以运用几何方法求解，运算得到。

证明：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，易知面ACC1A1⊥面ABC，

∵∠ACB=90°，∴BC⊥面ACC1A1．∵AM⊆面ACC1A1，∴BC⊥AM．

∵AM⊥BA1，且BC∩BA1=B，∴AM⊥平面A1BC．

（2）建立坐标系，

则

（2）（3）存在点Q满足题意，此时

（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,

又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD,

平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.  ……3分

(Ⅱ)解  以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得

A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

所以       …5分

所以异面直线PB与CD所成的角是余弦值为，    ………………7分

(Ⅲ)解  假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，

由(Ⅱ)知设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).

则所以即，

取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n="(1,1,1)."      …………………9分

设由，得解y=-或y=(舍去)，                        …………………11分

此时，所以存在点Q满足题意，此时。…12分

（1） ；

（2） ；（3） 的最小值为 

本试题主要是考查了立体几何中二面角的求解和棱台体积公式的运用，以及线段和的最值问题的综合运用。

（1）首先要求解三棱台的体积，关键是高度和底面积，然后结合公式得到。

（2）建立适当的空间直角坐标系，表示出点的坐标和向量的坐标，进而求解二面角的平面角的问题。

（3）结合三角形的知识，求解两边的和的最小值，要借助于余弦定理得到。

解:（1）由题意,正三棱台高为……..2分

………..4分

（2）设分别是上下底面的中心，是中点，是中点.

如图，建立空间直角坐标系. ，， ，，，，，

设平面的一个法向量，则即

取，取平面的一个法向

量，设所求角为

则 ……..8分

（3）将梯形绕旋转到,使其与成平角

，由余弦定理得

即的最小值为 ……..13分

见解析.

第一问中，利用线面平行的判定定理可以得到OD∥B1A，又B1A⊄平面BDC1，OD⊆平面BDC1

∴B1A∥面BDC1

；第二问中，利用建立空间直角坐标系可以设出法向量，利用法向量的夹角求解二面角的平面角的方法得到。

第三问中，利用假设成立，推出不符合线面垂直的情况，得到一个矛盾，进而得到结论。

（1）证明：连接B1C，交BC1于点O，

则O为B1C的中点，

∵D为AC中点，

∴OD∥B1A，

又B1A⊄平面BDC1，OD⊆平面BDC1

∴B1A∥面BDC1（4分）

（2）解：∵AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1，

∴CC1⊥面ABC，

则BC⊥平面AC1，CC1⊥AC

如图建系，则C1（3，0，0），B（0，0，2），D（0，1，0），C（0，0，0）

∴ C1D =（-3，1，0）， C1B =（-3，0，2）

设平面C1DB的法向量为n=（x，y，z）

则n=（2，6，3）

又平面BDC的法向量为 CC1 =（3，0，0）

∴二面角C1-BD-C的余弦值：cos＜ CC1，n＞= (CC1 .n)/ | CC1 |，|n| ="2/" 7

（3）不存在

（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1．

则  CP • C1B =0  CP • C1D =0  ，

即 3(y-3)=0

2+3(y-3)=0 ∴方程组无解．∴假设不成立．

∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1．（14分）

建立如图所示的空间直角坐标系．

则（－1，0，0），（－2，1，0），

（0，0，1）.∴=（－1，1，0），

=（1，0，1）,       ……8分

设平面的法向量为，则

 ……10分

令，得，

∴ .

显然，是平面的一个法向量=（）．       

∴  cos<，>=． 

∴ 二面角的余弦值是.       ………………12分