热门试卷

（1）见解析；（2）二面角的余弦值为 

第一问中设,建系

第二问，设则，

易知面的法向量设直线与平面所成角为，

则，，，  ，

,

设面的法向量

则，          

利用两平面的法向量得到二面角的平面角。

解：（1）设,如图建系，则

,

,

           …．．．4               

（2）设则，

易知面的法向量设直线与平面所成角为，

则，，，  ，

, ．．．8

设面的法向量

则，              ．．．．．．9

设面的法向量则

，   设二面角的大小为则

    二面角的余弦值为 ．．．12

如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），

A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0），

（1）

∴

∴，∴异面直线PC与BD所成的角为60°

（2）假设在PB上存在E点，使PC⊥平 ADE，记

∴若PC⊥平面ADE，则有PC⊥AE，

即，∴   

∴存在E点且E为PB的中点时，PC⊥平面ADE.

略

（1）证明：连接并延长与交于点，则由题

意及相似关系可知点为的中点，所以三点共线，

从而可得，因此侧面；

（2）．

试题分析：（1）要证明直线侧面，即证明平行于侧面的某条直线，而由题意及相似关系易知，即可证明之；

（2）这问的关键是找出平面与底面所成二面角的平面角，由侧面底面知，过点作的垂线与的延长线交于点，则平面，经过点作的垂线与的延长线交于点，则，于是即为所求二面角的平面角，然后根据相似关系可求该二面角的平面角的正切值．

试题解析：（1）证明：连接并延长与交于点，则由题意及相似关系可知点为的中点，

所以三点共线，从而可得，因此侧面．

（2）经过点作的垂线与的延长线交于点，则平面，经过点作的垂线与的延长线交于点，则，所以即为所求二面角的平面角且，则，并由相似关系得：，故，即为所求二面角的正切值．

证明见解析．

试题分析：（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面内找到一条与平行的直线，由于题中中点较多，容易看出，然后要交待在平面外，在平面内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得，因此考虑能否证明与平面内的另一条与相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明，因此要找的两条相交直线就是，由此可得线面垂直.

试题解析：（1）由于分别是的中点，则有，又，，所以．

（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以，又，所以平面平面．

【考点】线面平行与面面垂直．

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）或 。

(I)证明即可.

(II) 取BC的中点N，连结AN,MN,可证出,

再作，交AC的延长线于H，连结MH，则由三垂线定理知，，

从而为二面角的平面角 ,然后解三角形求角即可.

解法一：

（Ⅰ）∵

∴，

又∵

∴                                  …………5分

（Ⅱ）取的中点，则，连结，

∵，∴，从而

作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，，

从而为二面角的平面角                                  …………8分

直线与直线所成的角为

∴

在中，由余弦定理得

在中，

在中，

在中，

故二面角的平面角大小为                       …………12分

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）

由题意有，设，

则

由直线与直线所成的解为，得

，即，解得

∴，设平面的一个法向量为，

则，取，得                     …………8分

平面的法向量取为

设与所成的角为，则

显然，二面角的平面角为锐角，

故二面角的平面角大小为                           …………12分

（1）见解析；（2）.

（Ⅰ）因为四边形是矩形

，…………………2分

又平面…………………4分

平面…………………5分

所以直线平面……………6分

（Ⅱ）由条件平面平面

平面平面

过点P作，……………7分

又因为

根据平面和平面垂直的性质定理得

平面,平面……………9分

所以，直线是直线在平面内的射影

直线和底面所成角，

且……………10分

在中，

因为所以

在中，

，

…………11分

直线和底面所成角的大小为.…………12分

解：（1），所以········7分

（2）取中点，得平行四边形 

所以    ··················14

略

（Ⅰ）证明：连接交于，则

………………6分

（Ⅱ）解：以为原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则

……………………………………8分

设是平面的法向量，则

取，得

∴是平面的一个法向量，于是，点到平面的距离为

故，点到平面的距离为

略

二面角的余弦值为.

试题分析：先作出二面角的平面角，由面面垂直可得线面垂直，可考虑利用三垂线定理作出二面角的平面角：故可先由题意作于，过作于，连，从而可得平面，又由，故为二面角的平面角，从而问题就转化为求线段与的长度，根据题意易得，，从而，即二面角的余弦值为.

试题解析：如图，过作于，过作于，连，

∵平面平面，∴平面，∴，

又∵，∴为二面角的平面角，在中，，

在中过作于，

∵，，，∴，

∵，∴，

∵且，∴，

∵平面，平面，∴，

在中，，

∴，即二面角的余弦值为.