热门试卷

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）由等腰三角形底边中线即为高线可得，由三棱柱为直棱柱可得侧棱垂直底面从而垂直底面内的任意一条直线，即可得，根据线面垂直的判定定理可得。（Ⅱ）连接交于，连接。可知为中点。由三角形中位线可证得//，再根据线面平行的性质定理可得。（Ⅲ）建立空间坐标系，根据各边长可得各点的坐标，从而可求出面的法向量。由题意可证得，所以即为面的一个法向量。可用向量数量积公式求两法向量所成角的余弦值。但两法向量所成的角与二面角相等或互补，需根据题意判断。

试题解析：(Ⅰ) 因为 三棱柱中，平面，所以

所以CC1AD             1分

AB=AC，且D为AC中点

ADBC              2分

             3分

AD平面BC1             4分

（Ⅱ）

连接A1C交AC1于M，连接DM

侧面AC1为平行四边形

M为A1C中点             5分

D为BC中点

DM//A1B             6分

    7分

A1B//平面AC1D             8分

（Ⅲ）在直三棱柱中，AA1平面ABC

AA1AB，AA1AC

又ABAC             9分

以A为坐标原点，AB为Ox轴，AC为Oy轴，AA1为Oz轴建立空间直角坐标系

则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（，，0），C1（0，1，），

A1（0，0，），

，             10分

设平面AC1D的法向量为=(x,y,z)，

令z=1，则

             11分

又AB平面AC1

平面AC1的法向量             12分

若二面角D-AC1-C的大小为

因为             13分

又 由图可知二面角D-AC1-C为锐角，

二面角的余弦值为

即，。            14分

(1)证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.

试题分析：本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查学生的空间想象能力和推理论证能力.第一问，利用矩形和三角形的性质，先证明平行于，利用线面平行的判定定理证明；第二问，注意折起前和折起后的一些性质是不变的，要证明线面垂直，只需证明的是线和平面内的2条相交直线都垂直.

试题解析：(1)证明：连结.∵四边形是矩形，为中点，

∴为中点，

在中，为中点，故.

∵平面，平面，∴平面.(5分)

(2)依题意知， 且，

∴平面.

∵平面，∴.

∵为中点，∴，

结合，知四边形是平行四边形，

∴，.

而，，∴，∴，即.

又，∴平面.(12分)

（1）证明见解析；（2） ．

试题分析：（1）取的中点，然后利用矩形及正三角形的性质可证明，，从而可证明结果；（2）可考虑分别以，为轴，轴，轴建立空间直线坐标系，通过求两个平面的法向量的夹角来求二面角的余弦值．或考虑通过过点作，然后证明为所求二面角的一个平面角，再在中进行计算．

（1）证明：取的中点，连接，

∵为正三角形，∴．

又∵在四边形中，

，∴,且，

∴四边形ABCO为平行四边形，∴ ，

∴，∴．

（2）(法一)：由（1）知，且平面平面∴平面，所以分别以，为轴，轴，轴建立如图，

所示的直角坐标系，并设，则，,

∴，，，，，

∴，,,         ．

设平面，平面的法向量分别为，

则∴

∴分别取平面，平面的一个法向量，

∴，

∴二面角的余弦值为．

(法一)：由（1）知，且平面平面，∴平面，

过点作，垂足为，连接，则，于是为所求二面角的一个平面角，

设，则，，，

∴∴二面角的余弦值为．

(1)详见解析；(2)直线与平面所成角的正弦是.

试题分析：(1)空间中证线线垂直，一般先证线面垂直.那么在本题中证哪条线垂直哪个面？从图形可看出，可证面. (2)思路一、为了求直线与平面所成角的正弦值，首先作出直线在平面内的射影. 连设,连，可证得面,这样便是直线与平面所成角.思路二、由于两两垂直，故可分别以为轴正向,建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解.

试题解析：连设,连.

(1)由面,知,

又, 故面.

再由面便得⊥.

(2)在正中,,而,

又面,平面,且,

故⊥面,于是,为二面角的平面角.

正方体ABCD—中,设棱长为,且为棱的中点,由平面几何知识易得,满足,故.

再由知面,故是直线与平面所成角.

又,故直线与平面所成角的正弦是.

解二.分别以为轴正向,建立空间直角坐标系.设正方体棱长为.

(1)易得.

设,则, ,从而

,于是

(2)由题设,,则,.

设是平面的一个法向量,则,即

于是可取,.易得,故若记与的夹角为,则有,故直线与平面所成角的正弦是.

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）平面AA1B与平面A1BC的夹角的余弦值．

试题分析：（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC，只需证垂直平面内两条线即可，由于平面平面，，可得，由题意可得，四边形是菱形，由菱形对角线性质可知，，从而可得平面，也可利用向量法，即如图以为轴建立空间直角坐标系，由 知，即可得平面；（Ⅱ）求平面AA1B与平面A1BC的夹角的余弦值，可用传统方法，找二面角的平面角，设，作于，连接，则为二面角的平面角，从而求得两平面夹角的余弦值为，还可以利用向量来求，即找出两个平面的法向量，利用法向量的夹角平面AA1B与平面A1BC的夹角的余弦值．

试题解析：解法一：

（Ⅰ）由于平面平面，，所以面，所以。(2分)

而是菱形，因此，所以平面。（4分）

（Ⅱ）设，作于，连接，

由（1）知平面，即平面，所以

又于，因此，

所以为二面角的平面角，（8分）

在中，，，故直角边，

又因为中斜边 因此中斜边，

所以，所以所求两平面夹角的余弦值为。（12分）

解法二：

如图，取的中点，则，

因为，所以，又平面，（2分）

以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，

（Ⅰ），，， 

由 知， （5分）

又，从而平面；（6分）

（Ⅱ）由（1）知平面的一个法向量为，

再设平面的法向量为，，，

所以，设，则，

故

因此所求两平面夹角的余弦值为。(12分）

（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）（Ⅲ）不存在.

试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，关键在于找出线线平行.本题条件含中点，故从中位线上找线线平行. ，分别为，中点，在△中，是中点，是中点，所以∥．又因为平面，平面，所以∥平面．（Ⅱ）求二面角的大小，有两个思路，一是作出二面角的平面角，这要用到三垂线定理及其逆定理，利用侧面底面，可得底面的垂线，再作DF的垂线，就可得二面角的平面角，二是利用空间向量求出大小.首先建立空间坐标系. 取中点．由侧面底面易得面．以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系．再利用两平面法向量的夹角与二面角的平面角的关系，求出结果，（Ⅲ）存在性问题，一般从假设存在出发，构造等量关系，将存在是否转化为方程是否有解.

证明：（Ⅰ）如图，连结．

因为底面是正方形，

所以与互相平分．

又因为是中点，

所以是中点．

在△中，是中点，是中点，

所以∥．

又因为平面，平面，

所以∥平面．                                        4分

（Ⅱ）取中点．在△中，因为，

所以．

因为面底面，

且面面，

所以面．

因为平面

所以．

又因为是中点，

所以．

如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系．

因为，所以，则，，，，，，，．

于是，，．

因为面，所以是平面的一个法向量．

设平面的一个法向量是．

因为所以即

令则．

所以．

由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 10分

（Ⅲ）假设在棱上存在一点，使面．设，

则． 由（Ⅱ）可知平面的一个法向量是．

因为面，所以．

于是，，即．

又因为点在棱上，所以与共线．

因为，，

所以．

所以，无解．

故在棱上不存在一点，使面成立．               14分

(1)详见解析；(2).

试题分析：解法1：（1）延长交于点,根据，,利用相似三角形的比例关系，即可证得直线与直线平行，再运用线面平行的判定定理，即可证得结论；

解法2：（1）建立空间直角坐标系，求出侧面的法向量和向量，判断法向量和向量

垂直，即可证得结论；

（2）求出两个半平面的法向量，利用向量的数量积，求出法向量的夹角的余弦值，再利用法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系，即可求得答案；

试题解析：解法1:(1)延长B1E交BC于点F,

∽△FEB,BE=EC1,∴BF=B1C1=BC,

从而点F为BC的中点.

∵G为△ABC的重心,∴A、G、F三点共线.且,

又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B.    5分

(2)∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60°的角,∴∠A1AB=60°,

又AA1=AB=2,取AB的中点O,则AO⊥底面ABC.

以O为原点建立空间直角坐标系O—如图,

则,,,,,.

∵G为△ABC的重心,∴.,∴,

∴.又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B.    6分

(2)设平面B1GE的法向量为,则由得

可取又底面ABC的一个法向量为

设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为,则.

故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的余弦值为.    12分

（1）详见解析；（2）平面PAB与平面BGH夹角的余弦值．

试题分析：（1）求证: 平面，证明线面垂直，只需证明线和平面内两条相交直线垂直即可，由于是的中位线,，所以，由已知，对角线,得，从而可得，即，即，只需再找一条垂线即可，

若问题得证，要证，只要即可，由已知二面角为600，可找二面角的平面角，故过C作且,连，则，这样可证得，从而得证；（2）求平面PAB与平面BGH夹角的余弦值，求二面角的大小，可采用向量法来求，以CE的中点O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得各点的坐标，分别找出两个平面的法向量，即可求出平面PAB与平面BGH夹角的余弦值．

试题解析：（1）证明:过C作且,连BE,PE

,

四边形是矩形,，

平面PEC,

是正三角形

平面PEC

=5=BC,

而H是PC的中点,,是的中位线,,

,平面BGH.

（2）以CE的中点O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,

,,

先求平面PAB的法向量为,而平面BGH的法向量为,

设平面PAB与平面BGH的夹角为,则.

证明见答案

（１）正方形，

，又，，

平面，平面，

．

又，平面，

为在平面内的射影，

，

．

（２）已证，且，

，平面，

又平面，．

．

又平面，，

，面．