热门试卷

（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

试题分析：（1）根据双曲线的离心率列方程求出实数的值；（2）设点的坐标为，点的坐标为，利用条件确定与、之间的关系，再结合点在双曲线上这一条件，以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值；（3）证法一是先设点、的坐标分别为、，结合（2）得到，，引入参数，利用转化为相应的条件，利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式，进而证明点恒在定直线上；证法二是设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理，将条件进行等价转化为，结合韦达定理化简为，最后利用点在直线上得到，从而消去得到

，进而证明点恒在定直线上.

试题解析：（1）根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为，由于，解得，

故双曲线的方程为；

（2）设点的坐标为，点的坐标为，易知点，

则，，

，因此点的坐标为，

故直线的斜率，直线的斜率为，

因此直线与直线的斜率之积为，

由于点在双曲线上，所以，所以，

于是有

（定值）；

（3）证法一：设点 且过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点、，由（2）知，，，

设，则，即，

整理得，

由①③，②④得，，

将，，代入⑥得，⑦，

将⑦代入⑤得，即点恒在定直线上；

证法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，

由，

消去得，

因为直线与双曲线的右支交于不同的两点、，

则有，

设点，由，得，

整理得，

将②③代入上式得，

整理得，④

因为点在直线上，所以，⑤

联立④⑤消去得，所以点恒在定直线.

（1）直线l的方程可化为：y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，

要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是：k≥0…（5分）

（2）依题意，直线l在x轴上的截距为：-，在y轴上的截距为1+2k，

∴A（-，0），B（0，1+2k），又-＜0且1+2k＞0，

∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）=（4k++4）≥（4+4）=4，当且仅当4k=，即k=时取等号，

故S的最小值为4，此时直线l的方程为x-2y+4=0…（10分）