- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
判断函数f(x)=
正确答案
因为原函数的定义域为R，关于原点对称．
当x＞0时，-x＜0，所以f(-x)=-
当x=0时，f（-x）=0
当x＜0时，-x＞0，所以f(-x)=-
所以：f(-x)=
即原函数为偶函数．
设函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是奇函数，
（1）求k的值；
（2）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（3）若f(1)=
正确答案
（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=0，∴k-1=0，
∴k=1
（2）∵f（1）＞0，∴a-
又f'（x）=axlna+a-xlna=（ax+a-x）lna＞0
∴f（x）在R上单调递增，
原不等式可化为：f（x2+2x）＞f（4-x），
∴x2+2x＞4-x，即x2+3x-4＞0，
∴x＞1或x＜-4，
∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜-4}
（3）∵f(1)=
∴a=2或a=-
∴g（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x）=（2x-2-x）2-2m（2x-2-x）+2
令t=f（x）=2x-2-x，
∵x≥1，∴t≥f(1)=
∴g（x）=t2-2mt+2=（t-m）2+2-m2，
当m≥
∴m=2，
当m＜
∴m=2．
已知函数f（x）=（|x|-b）2+c，函数g（x）=x+m．
（1）当b=2，m=-4时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数c的取值范围；
（2）当c=-3，m=-2时，方程f（x）=g（x）有四个不同的解，求实数b的取值范围．
正确答案
（1）∵当b=2，m=-4时，f（x）≥g（x）恒成立，
∴c≥x-4-（|x|-2）2=
（2）（|x|-b）2-3=x-2，即（|x|-b）2=x+1有四个不同的解，
∴（x-b）2=x+1（x≥0）有两个不同解以及（x+b）2=x+1（x＜0）也有两个不同解，
由根的分布得b≥1且1＜b＜
∴1＜b＜
已知定义在区间（-1，1）内的奇函数f（x）是减函数，若f（1-m）+f（1-m2）＜0，求m的范围．
正确答案
根据题意，∵f（1-m）+f（1-m2）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m2），
又∵f（x）是奇函数，则-f（1-m2）=f（m2-1），
∴f（1-m）＜f（m2-1），
又∵f（x）是减函数，
∴有1-m＞m2-1；
又∵函数的定义域为（-1，1）；
∴-1＜1-m＜1，-1＜1-m2＜1；
综合有
故m的取值范围为（0，1）．
对于函数f(x)=a-
（1）用函数单调性的定义证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
正确答案
证明：任取x1，x2∈（-∞，+∞），且x1＜x2，
则2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x1）-f（x2）=（a-
∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）若函数f(x)=a-
则f（-x）+f（x）=a-
解得a=1
故存在实数a=1使函数f（x）为奇函数
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