热门试卷

（1）由已知得x＞0且f′(x)=2x-(-1)k•．

当k是奇数时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；      

当k是偶数时，则f′(x)=2x-=，

所以当x∈(0，)时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．

故当k是偶数时，f （x）在(0，)上是减函数，在(，+∞)上是增函数．

（2）若k=2012，则f（x）=x2-2alnx（k∈N*）．

记g （x）=f （x）-2ax=x 2-2a xlnx-2ax，g′(x)=2x--2a=(x2-ax-a)，

若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；     

令g′（x）=0，得x2-ax-a=0．因为a＞0，x＞0，

所以x 1=＜0（舍去），x 2=．

当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）是单调递减函数；

当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上是单调递增函数．

当x=x2时，g′（x2）=0，g（x）min=g（x2）．

因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0．

则即

两式相减得alnx2+ax2-a=0，因为a＞0，所以2lnx2+x2-1=0（*）．

设函数h（x）=2lnx+x-1，

因为在x＞0时，h （x）是增函数，所以h （x）=0至多有一解．

因为h （1）=0，所以方程（*）的解为x 2=1，从而解得a=

（3）当k=2011时，问题等价于证明xlnx＞-(x∈(0，+∞))，

由导数可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-，当且仅当x=时取到，

设m(x)=-(x∈(0，+∞))，则m′(x)=，

易得m(x)max=m(1)=-，当且仅当x=1时取到，

从而对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞-成立．故命题成立．

∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数

∴-f(x)-g(x)=①

又f(x)-g(x)=②

解①②构成的方程组得

f(x)=-；g(x)=-

故答案为：-；-