- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
先给出如下四个函数：
①f（x）=x2，-1＜x≤1
②f（x）=x|x|
③f（x）=
④f（x）=
其中奇函数的序号为______．
正确答案
①中 的函数的定义域关于原点不对称，故为非奇非偶函数
②函数的定义域R，f（-x）=-x|-x|=-x|xc|=-f（x），故为奇函数
③函数的定义域为-1＜x＜1且x≠0关于原点对称，而f（x）=
由f（-x）=
④当x＞0时，-x＜0，f（-x）=-1≠-f（x），故不是奇函数
故答案为：②③
已知数列{xn}中，x1，x5是方程log22x-8log2x+12=0的两根，等差数列{yn}满足yn=log2xn，且其公差为负数，
（1）求数列{yn}的通项公式；
（2）证明：数列{xn}为等比数列；
（3）设数列{xn}的前n项和为Sn，若对一切正整数n，Sn＜a恒成立，求实数a的取值范围．
正确答案
（1）∵x1，x5是方程log22x-8log2x+12=0的两根，
∴log2x1+log2x5=8，log2x1•log2x5=12，
∵等差数列{yn}满足yn=log2xn，且其公差为负数，
∴log2x1=6，log2x5=2．
y1=log2x1=6，y5=log2x5=2，yn=7-n．
（2）∵yn=log2xn=7-n，yn+1=log2xn+1=6-n
∴
∴数列{xn}为等比数列．
（3）Sn=
故所求a的取值范围为a≥128．
当0≤x≤1时，不等式sin
正确答案
由题意知：
∵当0≤x≤1时 sin
（1）当x=0时，不等式sin
（2）当0＜x≤1时，不等式sin
k≤
要使不等式k≤
令f（x）=
即f'（x）=
g'（x）=-
∵当0＜x≤1时，g'（x）＜0
∴g（x）为单调递减函数
∴g（x）＜g（0）=0
∴f'（x）＜0
即函数f（x）为单调递减函数
所以 f（x）min=f（1）=1 即k≤1
综上所述，由（1）（2）得 k≤1
故此题答案为 k∈（-∞，1]．
已知函数f（x）=
（1）判断该函数的奇偶性；
（2）证明函数在定义域上是增函数．
正确答案
（1）∵函数f（x）=
又f（-x）=
∴f（x）为奇函数
（2）设x1＜x2∈R，f（x1）-f（x2）
=
=
∵x1＜x2，
∴31x-32x＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）是R上的增函数
已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）作出函数f（x）的图象，并指出其单调区间．（不需要严格证明）
正确答案
（1）∵y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-2x，
当x＜0时，-x＞0，
f（-x）=（-x）2-2（-x）=x2+2x，
∴f（x）=f（-x）=x2+2x，
∴f（x）=
（2）∵f（x）=
∴当x≥0时，y=x2-2x，抛物线开口向上，对称轴方程为x=1，顶点坐标（1，-1），
当y=0时，x1=0，x2=2；当x=0时，y=0．
当x＜0时，y=x2+2x，抛物线开口向上，对称轴方程为x=-1，顶点坐标（-1，-1），
当y=0时，x=-2．
由此能作出函数f（x）的图象如下：
结合图象，知f（x）的增区间是（-1，0），（1，+∞）；减区间是（-∞，-1），（0，1）．
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