- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
已知函数f(x)=2x2+1(x∈R)，且对于任意的x恒有f（x）≥f（x0），则x0=______．
正确答案
∵f(x)=2x2+1(x∈R)，
∴f′（x）=2x•2 x2+1•ln2，
令f′（x）=2x•2 x2+1•ln2=0，得x=0．
列表，讨论
∴函数f(x)=2x2+1(x∈R)在x=0处取得极小值f（0）=2．
∵函数f(x)=2x2+1(x∈R)只有一个极小值，故这个极小值就是函数f(x)=2x2+1(x∈R)的最小值．
∵函数f(x)=2x2+1(x∈R)对于任意的x恒有f（x）≥f（x0），
∴f（x）≥f（x）min=f（0），
∴x0=0．
故答案为：0．
已知f（x）=x2-2ax+1，x∈[-1，1]，记函数f（x）的最大值为g（a），a∈R．
（1）求g（a）的表达式；
（2）若对一切a∈R，不等式g（a）≥ma-a2恒成立，求实数m的取值范围．
正确答案
（1）∵f（x）=（x-a）2+1-a2，x∈[-1，1]，
∴当a≥0时，g（a）=f（-1）=2+2a；
当a＜0时，g（a）=f（1）=2-2a；
∴g(a)=
（2）∵对一切a∈R，不等式g（a）≥ma-a2恒成立，
∴当a=0时，g（a）≥ma-a2恒成立，m∈R…（8分）
当a＞0时，2+2a≥ma-a2恒成立，
解得m≤a+
∵a+
∴m≤2
当a＜0时，2-2a≥ma-a2恒成立，
解得m≥a+
∵a+
∴m≥-2
综上所述 m∈[-2
已知f（x）=-3x2+a（5-a）x+b．
（1）当不等式f（x）＞0的解集为（-1，3）时，求实数a，b的值；
（2）若对任意实数a，f（2）＜0恒成立，求实数b的取值范围．
正确答案
16解由已知，-1，3是-3x2+a（5-a）x+b=0两解．
∴
∴
（Ⅱ）由f（2）＜0，即2a2-10a+（12-b）＞0…8分
即b＜2a2-10a+12=2（a-
∴恒成立∴b＜-
（考生注意：本题请从以下甲乙两题中任选一题作答，若两题都答只以甲题计分）
甲：设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn=2-Sn；数列{an} 为等差数列，且a5=9，a7=13．
（Ⅰ）求数列 {bn} 的通项公式；
（Ⅱ）若cn=anbn（n=1，2，3，…），Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn．
乙：定义在[-1，1]上的奇函数f（x），已知当x∈[-1，0]时，f（x）=
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（Ⅱ）若f（x）是[0，1]上的增函数，求实数a的取值范围．
正确答案
甲：（Ⅰ）由bn=2-Sn，令n=1，则b1=2-S1，∴b1=1，…（1分）
当n≥2时，由bn=2-Sn，可得bn-bn-1=-（Sn-Sn-1）=-bn，…（3分）
∴bn=
∴数列{bn}是以1为首项，
∴bn=
（Ⅱ）数列{an}为等差数列，公差d=
从而cn=anbn=（2n-1）•
∴Tn=1+
∴
两式相减可得：
从而Tn=6-
乙：（Ⅰ）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，∴f（-x）=4x-a•2x
∵f（-x）=-f（x），∴f（x）=a•2x-4x，x∈[0，1]，…（3分）
令t=2x，则t∈[1，2]，∴g（t）=at-t2=-（t-
∴当
当1＜
当
（Ⅱ）因为函数f（x）在[0，1]上是增函数，
所以f′（x）=2xln2（a-2•2x）≥0 …（10分）
∴a≥2•2x恒成立
∵x∈[0，1]
∴a≥4 …（12分）
已知y=f（x）是R上的奇函数，且x＜0时，f（x）=x+2x；则当x＞0时，f（x）=______．
正确答案
∵y=f（x）是R上的奇函数，
当x＞0时，f（x）=-f（-x）=-（-x）+2-x=x-2-x故答案为x-2-x
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