函数奇偶性的性质及其判断
共6028题

· 函数奇偶性的性质及其判断

函数奇偶性的性质及其判断
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题型：简答题

简答题

已知函数．

（1）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．

正确答案

(1)

(2)

试题分析：解:（1）是偶函数，即，

又恒成立即

当时

当时，，

综上：

（2）

是偶函数，要使在上是减函数在上是增函数，即只要满足在区间上是增函数在上是减函数．

令，当时；时，由于时，

是增函数记，故与在区间上有相同的增减性，当二次函数在区间上是增函数在上是减函数，其对称轴方程为．

点评：主要是考查了函数奇偶性和单调性以及不等式的恒成立问题的综合运用，属于基础题。

题型：填空题

填空题

设奇函数的定义域为,当时,的图象如图，则不等式的解集是 .

正确答案

试题分析：因为函数为奇函数，所以很容易补充在[-6,0]上的图像。由图像可得：的解集是。

点评：熟练掌握奇函数图像的特征是做本题的前提条件，数形结合是本题的关键。

题型：填空题

填空题

设周期函数是定义在R上的奇函数，若的最小正周期为3，且满足,，则的取值范围是 .

正确答案

或

试题分析：，，解不等式得或

点评：函数的奇偶性周期性是常考知识点，加以重视

题型：填空题

填空题

已知函数是偶函数,则．

正确答案

试题分析：∵函数是偶函数，∴，∴，∴2

点评：利用函数奇偶性求参数往往用到以下结论：一是奇函数的定义域包括0，一般有f(0)=0，二是一元二次函数为偶函数，则一次项系数为0

题型：简答题

简答题

（本小题满分15分）已知函数，.

（1）用定义证明：不论为何实数在上为增函数；

（2）若为奇函数，求的值；

（3）在（2）的条件下，求在区间[1，5]上的最小值.

正确答案

（1）见解析；（2）；（3）.

试题分析：(1) 的定义域为R, 任取,------------1分

则=. -----------3分

,∴ .

∴，即.

所以不论为何实数总为增函数.————————5分

(2) 在上为奇函数,

∴, ------------7分

即.解得 . —————————————10分

(3)由(2)知，,

由(1) 知，为增函数,

∴在区间上的最小值为. ------------13分

∵，

∴在区间上的最小值为.———————————————15分

点评：（1）用的定义法证明函数单调性的步骤：一设二作差三变形四判断符号五得出结论。

（2）灵活应用奇函数的性质：若x=0在函数的定义域内，则f（0）=0。属于基础试题。

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