- 函数奇偶性的性质及其判断
- 共6028题
设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0，f（x）＜0；f（1）=-2．
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）证明f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值．
正确答案
证明：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y），
得f[x+（-x）]=f（x）+f（-x），
∴f（x）+f（-x）=f（0）．
又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．
从而有f（x）+f（-x）=0．∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）是奇函数．
（2）任取x1、x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=f（x1）-f[x1+（x2-x1）]=f（x1）-[f（x1）+f（x2-x1）]=-f（x2-x1）．
由x1＜x2，∴x2-x1＞0．∴f（x2-x1）＜0．
∴-f（x2-x1）＞0，即f（x1）＞f（x2），
从而f（x）在R上是减函数．
（3）由于f（x）在R上是减函数，
故f（x）在[-3，3]上的最大值是f（-3），
最小值为f（3）．由f（1）=-2，
得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）
=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）
=3×（-2）=-6，f（-3）=-f（3）=6．
∴最大值为6，最小值为-6．
定义在(-1，1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(1-a)+f(1-a2)＜0，求实数a的取值范围．
正确答案
解：由f(1-a)+f(1-a2)＜0及f(x)为奇函数得，
f(1-a)＜f(a2-1)，
∵f(x)在(-1，1)上单调减，
∴
故a的取值范围是{a|0＜a＜1}．
已知函数f(x)=
正确答案
（1）∵函数f(x)=
且f(-x)=
∴函数f(x)=
（2）任取（-∞，+∞）上两个实数x1，x2，且x1＜x2，
则x1-x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
则f（x1）-f（x2）=
即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数；
已知f（x）是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f（x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立．
（Ⅰ）求证：f（x）是周期函数．
（Ⅱ）已知f（-4）=2，求f（2012）．
正确答案
（Ⅰ）证明：∵f（x）=f（x+1）+f（x-1），∴f（x+1）=f（x）-f（x-1），
则f（x+2）=f[（x+1）+1]=f（x+1）-f（x）=f（x）-f（x-1）-f（x）=-f（x-1），
所以f（x+3）=f[（x+1）+2]=-f[（x+1）-1]=-f（x），
f（x+6）=f[（x+3）+3]=-f（x+3）=f（x），所以f（x）是周期函数，且6是它的一个周期．
（Ⅱ）f（2012）=f（335×6+2）=f（2）=f[6+（-4）]=f（-4）=2．
已知函数f（x）=loga
（1）求出m的值，并求出定义域D；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明；
（3）当x∈（r，a-2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），求a及r的值．
正确答案
（1）因为f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），
所以loga
即1-m2x2=1-x2对一切x∈D都成立，…（3分）
所以m2=1，m=±1，…（4分）
由于
所以f（x）=loga
（2）当a＞1时，f（x）=loga
则f（x1）-f（x2）=loga
由于x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，所以
【注】只要写出x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，f（x1）-f（x2）=…=…，得出f（x1）＞f（x2）即可．
即f（x）在（1，+∞）上单调递减…（11分）
同理可得，当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增 …（13分）
（3）因为x∈（r，a-2），定义域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°当r≥1时，则1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）
所以f（x）在（r，a-2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分）
即loga
所以a=2+
2°当r＜1时，则（r，a-2）⊈（-∞，-1），所以0＜a＜1
因为f（x）在（r，a-2）上为增函数，
所以f（r）=1，a-2=-1，
解得a=1与a＞0且a≠1矛盾（舍） …（20分）
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