函数奇偶性的性质及其判断
共6028题

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函数奇偶性的性质及其判断
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题型：简答题

简答题

已知函数（a，b，c为常数，a≠0）。

（1）若c=0时，数列{an}满足条件：点（n，an）在函数的图象上，求{an}的前n项和Sn；（2）在（1）的条件下，若a3=7，S4=24，p，q∈N+（p≠q），证明：。

（3）若c=1时f（x）是奇函数，f（1）=1，数列{xn}满足x1=，xn+1=f（xn），求证：。

正确答案

解：（1）依条件有f（x）=ax+b

因为点（n，an）在函数f（x）=ax+b的图象上，

所以an=f（n）=an+b

因为an+1-an=a（n+1）+b-（an+b）=a，

所以{an}是首项为a1=a+b，公差为d=a的等差数列

所以

即数列{an}的前n项和。

（2）依条件有

即

解得

所以an=2n+1

所以Sn=n2+2n

因为

又p≠q，

所以-2（p-q）2＜0，

所以

即。

（3）依条件f（x）=

因为f（x）为奇函数，

所以f（-x）+f（x）=0

即

解得b=0

所以

又f（1）=1，所以a=2

故

因为

所以

因为

所以有（n∈N*）

又

若

则xn=1

从而x1=1，这与矛盾

所以

所以（等号不同时成立）

所以

因为

所以

题型：简答题

简答题

已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且x1，x2∈R，总有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1恒成立．

（Ⅰ）求证：f（x）+1是奇函数；

（Ⅱ）对n∈N*，有，，求：Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1及；

（Ⅲ）求F（n）=an+1+an+2+…+a2n（n≥2，n∈N）的最小值．

正确答案

解：（1）证明：f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，

令x1=x2=0得f（0）=﹣1，

再令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1

∴f（﹣x）+1=﹣[f（x）+1]，函数f（x）+1是奇函数．

（2）令x1=n，x2=1得f（n+1）=f（n）+2，

所以f（n）=2n﹣1，，，

∴

又，①②

由①﹣②得出

计算整理得出得（3）∵

∴F（n+1）＞F（n）．

又n≥2，

∴F（n）的最小值为

题型：简答题

简答题

已知函数（a，b，c为常数，a≠0），

（Ⅰ）若c=0时，数列{an}满足条件：点（n，an）在函数的图象上，求{an}的前n项和

Sn；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a3=7，S4=24，p，q∈N*（p≠q），证明：；

（Ⅲ）若c=1时，f（x）是奇函数，f（1）=1，数列{xn}满足，xn+1= f（xn），求证：0n+1<1。

正确答案

解：（Ⅰ）依条件有f（x）=ax+b，

因为点在函数f（x）=ax+b的图象上，所以，

因为，

所以{an}是首项是，公差为d=a的等差数列，

所以，

即数列{an}的前n项和。

（Ⅱ）证明：依条件有，即解得，

所以，

因为，

又p≠q，

所以，

即。

（Ⅲ）证明：依条件，

因为f（x）为奇函数，所以f（-x）+f（x）=0，

即，解得b=0，

所以，

又f（1）=1，所以a=2，

故；

因为，

所以（n∈N*），

又，

若矛盾，

所以。

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