- 演绎推理
- 共822题
对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：
22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7
23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19
根据上述分解规律，则52＝__________________；
若m3(m∈N*)的分解中最小的数是21，则m的值为______
正确答案
1＋3＋5＋7＋9 5
略
在数列中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)证明数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和Sn；
(3)证明不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立
正确答案
(1)证明：由题设an＋1＝4an－3n＋1，得
an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋.
又a1－1＝1，所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列的通项公式为
an＝4n－1＋n.
所以数列的前n项和Sn＝＋.
(3)证明：对任意的n∈N＋，
Sn＋1－4Sn
＝＋－4
＝－(3n2＋n－4)≤0.
所以不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N＋皆成立
略
将正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N)个全等的小正三角形(图乙，图丙分别给出了n＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，求f(3)和f(n)．
正确答案
解析：当n＝3时，如题图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知
a＋b＋c＝1，x1＋x2＝a＋b，y1＋y2＝b＋c，z1＋z2＝c＋a.
x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋c)＝2，
2g＝x1＋y2＝x2＋z1＝y1＋z2.
6g＝x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋c)＝2.
即g＝而f(3)＝a＋b＋c＋x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＋g＝
1＋2＋＝.
进一步可求得f(4)＝5.由上知f(1)中有三个数，f(2)中有6个数，f(3)中共有10个数相加，f(4)中有15个数相加…，若f(n－1)中有an－1(n＞1)个数相加，可得f(n)中有(an－1＋n＋1)个数相加，且由f(1)＝1＝，f(2)＝＝＝f(1)＋，f(3)＝＝f(2)＋，f(4)＝5＝f(3)＋，…
可得f(n)＝f(n－1)＋，所以
f(n)＝f(n－1)＋＝f(n－2)＋＋＝…
＝＋＋＋＋f(1)
＝＋＋＋＋＋＝(n＋1)(n＋2)．
略
在等比数列{an}中，若a10＝0，则有等式
a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则等式______________成立 
正确答案
b1b2·…·bn＝b1b2·…·b17－n(n<17，n∈N＋)
略
观察下列算式：
13＝1，
23＝3＋5，
33＝7＋9＋11，
43＝13＋15＋17＋19，
……
若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n＝________．
正确答案
45
观察所给算式的规律，我们发现：第一个式子的最后一个数为12＋0，第二个式子的最后一个数为22＋1，第三个式子的最后一个数为32＋2，…，所以第n个式子的最后一个数为n2＋n－1，而2013介于442＋43和452＋44之间，所以m＝45
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