- 直角三角形的射影定理
- 共36题
如图，⊙O上一点C在直径AB上的射影为D，AC=4，AD=2，则⊙O的面积是______．
正确答案
16π
解析
解：∵∠ACB是直径AD所对的圆周角，∴∠ACB=90°．
∵CD⊥AD．
∴AC2=AD•AB，
∴42=2×AB，
解得AB=8．
∴R=4．
∴⊙O的面积=42•π=16π．
故答案为：16π．
在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=2．在BC边上任取一点M，则∠AMB≥90°的概率为______．
正确答案
解析
当M点落在线段BM'（含M'点不含B点）上时∠AMB≥90
由∠A=90°，AB=1，BC=2
解得BM'=
故答案为：
CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示）．
正确答案
解：设CD=h，AB=c，BD=x，则AD=c-x
因此，△ACD的面积为
△CBD的面积为
即x2=c（c-x），即x2+cx-c2=0，
∵取负号不合题意，∴取正号，得
又依直角三角形的性质，有AC2=AD•AB=c（c-x）．
但x2=c（c-x），∴AC2=x2，∴AC=x=DB=
在直角三角形ABC中，
故
解析
解：设CD=h，AB=c，BD=x，则AD=c-x
因此，△ACD的面积为
△CBD的面积为
即x2=c（c-x），即x2+cx-c2=0，
∵取负号不合题意，∴取正号，得
又依直角三角形的性质，有AC2=AD•AB=c（c-x）．
但x2=c（c-x），∴AC2=x2，∴AC=x=DB=
在直角三角形ABC中，
故
△ABC中，∠BAC是直角，AD是高，求证：如果BC=5CD，那么BC2=5AC2．
正确答案
∵∠BAC是直角，AD是高，BC=5CD，
∴AC2=CD•BC=
∴BC2=5AC2．
解析
∵∠BAC是直角，AD是高，BC=5CD，
∴AC2=CD•BC=
∴BC2=5AC2．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）求证：DM∥平面PCB．
正确答案
∵PA=PD，
∴PG⊥AD．（2分）
∵AB=AD，且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD，
又∵PG∩BG=G，PG、BG⊂平面PGB
∴AD⊥平面PGB．
∴AD⊥PB．（6分）
（2）取PB的中点F，连接MF、CF，
∵M、F分别为PA、PB的中点，
∴MF∥AB，且
∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，
∴MF∥CD且MF=CD．（10分）
∴四边形CDMF是平行四边形．
∴DM∥CF．
∵CF⊂平面PCB，DM⊄平面PCB
∴DM∥平面PCB．（12分）
解析
∵PA=PD，
∴PG⊥AD．（2分）
∵AB=AD，且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD，
又∵PG∩BG=G，PG、BG⊂平面PGB
∴AD⊥平面PGB．
∴AD⊥PB．（6分）
（2）取PB的中点F，连接MF、CF，
∵M、F分别为PA、PB的中点，
∴MF∥AB，且
∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，
∴MF∥CD且MF=CD．（10分）
∴四边形CDMF是平行四边形．
∴DM∥CF．
∵CF⊂平面PCB，DM⊄平面PCB
∴DM∥平面PCB．（12分）
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