综合法与分析法证明不等式
共468题

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综合法与分析法证明不等式
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题型：简答题

简答题

设a＞0，b＞0，c＞0，a2+b2=c2，求证：n≥3（n∈N+）时，an+bn＜cn．

正确答案

证明：∵a、b、c∈R+，a2+b2=c2，

∴（）2+（）2=1，

∴∈（0，1），∈（0，1），

∵y=（）x与y=（）x均为减函数，

∴当n≥3（n∈N+）时（）n＜（）2，（）n＜（）2；

∴当n≥3（n∈N+）时（）n+（）n＜（）2+（）2=1，

即n≥3（n∈N+）时，an+bn＜cn．

解析

证明：∵a、b、c∈R+，a2+b2=c2，

∴（）2+（）2=1，

∴∈（0，1），∈（0，1），

∵y=（）x与y=（）x均为减函数，

∴当n≥3（n∈N+）时（）n＜（）2，（）n＜（）2；

∴当n≥3（n∈N+）时（）n+（）n＜（）2+（）2=1，

即n≥3（n∈N+）时，an+bn＜cn．

题型：简答题

简答题

（1）已知n≥0，试用分析法证明：

（2）已知a，b，c是全不相等的正实数，求证．

正确答案

证明：（1）要证上式成立，即证+＞2，

即＞，

即证n+1＞，

即（n+1）2＞n2+2n即n2+2n+1＞n2+2n，即证1＞0，显然成立；

所以原命题成立

（2）证明：（分析法）

要证 ++＞3，

只需证明 +-1++-1++-1＞3

即证+++++＞6，

而事实上，由a，b，c是全不相等的正实数，

∴+＞2，+＞2，+＞2

∴+++++＞6，

∴++＞3，得证．

解析

证明：（1）要证上式成立，即证+＞2，

即＞，

即证n+1＞，

即（n+1）2＞n2+2n即n2+2n+1＞n2+2n，即证1＞0，显然成立；

所以原命题成立

（2）证明：（分析法）

要证 ++＞3，

只需证明 +-1++-1++-1＞3

即证+++++＞6，

而事实上，由a，b，c是全不相等的正实数，

∴+＞2，+＞2，+＞2

∴+++++＞6，

∴++＞3，得证．

题型：简答题

简答题

（2015春•潍坊期中）已知：函数f（x）=-．

（Ⅰ）求f（1）+f（2）+…+f（2015）的值；

（Ⅱ）用分析法证明：f（x）＜f（x-2）（x≥3）．

正确答案

（Ⅰ）解：f（1）+f（2）+…+f（2015）=++…+=；

（Ⅱ）证明：要证明-＜-，

只要证明+＜+，

只要证明，

只要证明x2-3x＜x2-3x+2，

只要证明0＜2，显然成立，

∴-＜-，

即f（x）＜f（x-2）（x≥3）．

解析

（Ⅰ）解：f（1）+f（2）+…+f（2015）=++…+=；

（Ⅱ）证明：要证明-＜-，

只要证明+＜+，

只要证明，

只要证明x2-3x＜x2-3x+2，

只要证明0＜2，显然成立，

∴-＜-，

即f（x）＜f（x-2）（x≥3）．

题型：简答题

简答题

试用两种不同的方法证明如下不等式：若x，y，z∈R，则．

正确答案

解：分析法：要证明，

只需证明：（x+y+z）2≤3（x2+y2+z2），

只需证明：2xy+2xz+2yz≤2（x2+y2+z2），

只需证明：（x-y）2+（y-z）2+（x-z）2≥0，

显然成立，

∴，

综合法：∵（x-y）2+（y-z）2+（x-z）2≥0，

∴2xy+2xz+2yz≤2（x2+y2+z2），

∴（x+y+z）2≤3（x2+y2+z2），

∴．

解析

解：分析法：要证明，

只需证明：（x+y+z）2≤3（x2+y2+z2），

只需证明：2xy+2xz+2yz≤2（x2+y2+z2），

只需证明：（x-y）2+（y-z）2+（x-z）2≥0，

显然成立，

∴，

综合法：∵（x-y）2+（y-z）2+（x-z）2≥0，

∴2xy+2xz+2yz≤2（x2+y2+z2），

∴（x+y+z）2≤3（x2+y2+z2），

∴．

题型：简答题

简答题

已知函数，其中x＞0，a∈R，令函数h（x）=f（x）-g（x）．

（Ⅰ）若函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；

（Ⅱ）当a取（I）中的最大值时，判断方程h（x）+h（2-x）=0在（0，1）上是否有解，并说明理由；

（Ⅲ）令函数F（x）=+2lnx，证明不等式．

正确答案

解：（I）h（x）=f（x）-g（x）=（x＞0），=，

∵函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴x2-ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，

解得a≤2．

（II）当a=2时，h（x）=，∴h（x）+h（2-x）=．

令t=x（2-x）∈（0，1），构造函数φ（t）=2-，

恒成立，

∴函数φ（t）在（0，1）上单调递增，且φ（1）=0，

∴φ（t）=2-在（0，1）上无解．

（III）令，当k为偶数时，ak＞1，由（I）可知：，即．

当k为奇数时，0＜ak＜1，由（I）可知：．

∴=-1+．

∴，

，

…，

，

累加求和得不等式==．．

解析

解：（I）h（x）=f（x）-g（x）=（x＞0），=，

∵函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴x2-ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，

解得a≤2．

（II）当a=2时，h（x）=，∴h（x）+h（2-x）=．

令t=x（2-x）∈（0，1），构造函数φ（t）=2-，

恒成立，

∴函数φ（t）在（0，1）上单调递增，且φ（1）=0，

∴φ（t）=2-在（0，1）上无解．

（III）令，当k为偶数时，ak＞1，由（I）可知：，即．

当k为奇数时，0＜ak＜1，由（I）可知：．

∴=-1+．

∴，

，

…，

，

累加求和得不等式==．．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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