- 综合法与分析法证明不等式
- 共468题
已知a，b，c都是正实数，求证（1）
正确答案
证明：（1）要证
即证：a2≥2ab-b2
即证：（a-b）2≥0
显然成立，故得证；
（2）∵a，b，c都是正实数，
∴
相加，化简得
解析
证明：（1）要证
即证：a2≥2ab-b2
即证：（a-b）2≥0
显然成立，故得证；
（2）∵a，b，c都是正实数，
∴
相加，化简得
已知a＞b＞0，求证：
正确答案
证明：由a＞b＞0，
=（a-b）•
即有
又
=（a-b）•
即有
则有
解析
证明：由a＞b＞0，
=（a-b）•
即有
又
=（a-b）•
即有
则有
已知函数f（x）=ax+
（1）当a≤
（2）证明：对任意的n∈N+，有
正确答案
（1）解：∵f（x）=ax+
∴f′（x）=
①a≤0时，f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数；
②0＜a＜
③a=
（2）证明：由（1）知a=
x≥1时，f（x）≥f（1）=0，
∴lnx≤
∴lnn≤
∴
∵
∴
解析
（1）解：∵f（x）=ax+
∴f′（x）=
①a≤0时，f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数；
②0＜a＜
③a=
（2）证明：由（1）知a=
x≥1时，f（x）≥f（1）=0，
∴lnx≤
∴lnn≤
∴
∵
∴
已知b、c是实数，函数f（x）=x2+bx+c对任意α、β∈R有f（sinα）≥0且f（2+cosβ）≤0．
（1）求f（1）的值；
（2）证明：c≥3．
正确答案
（1）解：对任意α，β∈R，有-1≤sinα≤1，1≤2+cosβ≤3．
因为f（sinα）≥0且f（2+cosβ）≤0，
所以f（1）≥0且f（1）≤0，
所以，f（1）=0． …（2分）
（2）证明：因为f（1）=0，所以1+b+c=0，即b=-1-c．
因为1≤2+cosβ≤3，f（2+cosβ）≤0，
所以f（3）≤0．
即32+3b+c≤0，有9+3（-l-c）+c≤0，
所以，c≥3． …（4分）
解析
（1）解：对任意α，β∈R，有-1≤sinα≤1，1≤2+cosβ≤3．
因为f（sinα）≥0且f（2+cosβ）≤0，
所以f（1）≥0且f（1）≤0，
所以，f（1）=0． …（2分）
（2）证明：因为f（1）=0，所以1+b+c=0，即b=-1-c．
因为1≤2+cosβ≤3，f（2+cosβ）≤0，
所以f（3）≤0．
即32+3b+c≤0，有9+3（-l-c）+c≤0，
所以，c≥3． …（4分）
已知a，b，c∈（0，1），求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于
正确答案
证明：反证法假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中都大于
（1-a）b＞
①②③相加：
由基本不等式a+b≥2
④⑤⑥三式相加
与
解析
证明：反证法假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中都大于
（1-a）b＞
①②③相加：
由基本不等式a+b≥2
④⑤⑥三式相加
与
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