- 综合法与分析法证明不等式
- 共468题
已知|x|≤1，|y|≤1，用分析法证明：|x+y|≤|1+xy|．
正确答案
证明：要证|x+y|≤|1+xy|．即证（x+y）2≤（1+xy）2，即证x2+y2≤1+x2y2，
即证（x2-1）（1-y2）≤0，因为|x|≤1，|y|≤1，
所以x2-1≤0，1-y2≥0，所以（x2-1）（1-y2）≤0，
所以不等式成立．
解析
证明：要证|x+y|≤|1+xy|．即证（x+y）2≤（1+xy）2，即证x2+y2≤1+x2y2，
即证（x2-1）（1-y2）≤0，因为|x|≤1，|y|≤1，
所以x2-1≤0，1-y2≥0，所以（x2-1）（1-y2）≤0，
所以不等式成立．
下列不等式在给定区间上不恒成立的是（ ）
A（x+1）cosx＜1，x∈（0，π）
Be
Csinx+tanx＞2x，x∈（0，
Dlnx+ex＞x
正确答案
解析
解：对于A，可举x=
对于B，可令t=x2（t＞0），由f（t）=et-1-t的导数为f′（t）=et-1＞0，即为f（t）在t＞0递增，
即有f（t）＞f（0）=0，则原不等式恒成立；
对于C，令f（x）=sinx+tanx-2x（0＜x＜π），f′（x）=cosx+sec2x-2=cosx+
设t=cosx（0＜t＜1），则g（t）=t+t-2-2，g′（t）=1-2t-3＜0，g（t）在（0，1）递减，即有g（t）＞g（1）=0，
则f（x）＞0恒成立；
对于D，lnx+ex＞x
设f（x）=lnx+
当x＞1时，f（x）递增，0＜x＜1时，f（x）递减，
即有x=1处f（x）取得最小值1；g（x）的导数为g′（x）=1-ex，
当x＞0时，g′（x）＜0，即有g（x）＜1，故原不等式恒成立．
故选：A．
设a，b，c均为正数，且a+b+c=1．证明：
（1）
（2）
正确答案
证明：（1）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，①
又a+b+c=1，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，②
由①②得：3（ab+bc+ac）≤1，
∴ab+bc+ac≤
（2）∵a，b，c均为正数，
∴
∴
∴
∴
解析
证明：（1）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，①
又a+b+c=1，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，②
由①②得：3（ab+bc+ac）≤1，
∴ab+bc+ac≤
（2）∵a，b，c均为正数，
∴
∴
∴
∴
（1）设x＞0，y＞0，且
（2）若x∈R，y∈R，求证：
正确答案
证明：（1）∵x＞0，y＞0，
∴x+y=（x+y）（
=8+
≥2
∴x+y的最小值为18．
（2）∵x∈R，y∈R，
∴
=
=
=
∴
解析
证明：（1）∵x＞0，y＞0，
∴x+y=（x+y）（
=8+
≥2
∴x+y的最小值为18．
（2）∵x∈R，y∈R，
∴
=
=
=
∴
已知函数
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若h（x）=f（x）-ax，对定义域内任意x，均有h（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围？
（3）证明：对任意的正整数m，n，
正确答案
解：（1）定义域为（0，+∞）．
当a=-1时，f（x）=-lnx+
当
（2）h（x）=f（x）-ax=alnx+
①当a＜0时，x∈（0，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）在此区间上单调递减；．x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）在此区间上单调递增．
函数h（x）在x=1时取得最小值，由h（1）=-a-
②当a≥0时，h（1）=-a
综上可知：a的取值范围为
（3）令a=-
令x=m+1，m+2，…，m+n．
则
解析
解：（1）定义域为（0，+∞）．
当a=-1时，f（x）=-lnx+
当
（2）h（x）=f（x）-ax=alnx+
①当a＜0时，x∈（0，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）在此区间上单调递减；．x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）在此区间上单调递增．
函数h（x）在x=1时取得最小值，由h（1）=-a-
②当a≥0时，h（1）=-a
综上可知：a的取值范围为
（3）令a=-
令x=m+1，m+2，…，m+n．
则
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