- 综合法与分析法证明不等式
- 共468题
用综合法证明：[sinθ（1+sinθ）+cosθ（1+cosθ）][
正确答案
证明：∵左边=（sinθ+cosθ+1）（sinθ+cosθ-1）…（2分）
=（sinθ+cosθ）2-1…（4分）
=2sinθcosθ…（5分）
=sin2θ=右边
∴原等式成立．…（6分）
解析
证明：∵左边=（sinθ+cosθ+1）（sinθ+cosθ-1）…（2分）
=（sinθ+cosθ）2-1…（4分）
=2sinθcosθ…（5分）
=sin2θ=右边
∴原等式成立．…（6分）
设a，b，c∈（-∞，0），则对于a+
①都不大于-2
②都不小于-2
③至少有一个不小于-2
④至少有一个不大于-2．
正确答案
③
解析
解：因为a，b，c∈（-∞，0），所以a+
假设三个数都小于-2
则a+
所以假设错误
所以至少有一个不小于-2
故正确的序号为③，
故答案为：③．
求证：-
正确答案
证明：∵|x|
∴-
解析
证明：∵|x|
∴-
（Ⅰ）证明：当x＞1时，2lnx＜x-
（Ⅱ）若不等式
（Ⅲ）求证：
正确答案
（Ⅰ）证明：令函数
由
故当x＞1时，
（Ⅱ）解：由于t＞0，a＞0，故不等式
问题转化为（*）式对任意的正实数t恒成立，
构造函数
则
（1）当0＜a≤2时，由t＞0，a（a-2）≤0，则g‘（t）≥0即g（t）在（0，+∞）上单调递增，
则g（t）＞g（0）=0，即不等式
（2）当a＞2时，a（a-2）＞0
因此t∈（0，a（a-2）），g'（t）＜0，函数g（t）单调递减；
t∈（a（a-2），+∞），g'（t）＞0，函数g（t）单调递增，
故
令x=a-1＞1，由（Ⅰ）可知
综上可得，正实数a的取值范围是（0，2]．
（Ⅲ）证明：要证
由（Ⅱ）的结论令a=2，有
取
综上，不等式
解析
（Ⅰ）证明：令函数
由
故当x＞1时，
（Ⅱ）解：由于t＞0，a＞0，故不等式
问题转化为（*）式对任意的正实数t恒成立，
构造函数
则
（1）当0＜a≤2时，由t＞0，a（a-2）≤0，则g‘（t）≥0即g（t）在（0，+∞）上单调递增，
则g（t）＞g（0）=0，即不等式
（2）当a＞2时，a（a-2）＞0
因此t∈（0，a（a-2）），g'（t）＜0，函数g（t）单调递减；
t∈（a（a-2），+∞），g'（t）＞0，函数g（t）单调递增，
故
令x=a-1＞1，由（Ⅰ）可知
综上可得，正实数a的取值范围是（0，2]．
（Ⅲ）证明：要证
由（Ⅱ）的结论令a=2，有
取
综上，不等式
求证ab+bc+cd+da≤a2+b2+c2+d2并说出等号成立的条件．
正确答案
证明：ab+bc+cd+da-（a2+b2+c2+d2）
=-
=-
当且仅当a=b=c=d时，等号成立．
∴ab+bc+cd+da≤a2+b2+c2+d2
解析
证明：ab+bc+cd+da-（a2+b2+c2+d2）
=-
=-
当且仅当a=b=c=d时，等号成立．
∴ab+bc+cd+da≤a2+b2+c2+d2
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