综合法与分析法证明不等式
共468题

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综合法与分析法证明不等式
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题型：简答题

简答题

若x2+y2≤1，求证：①；②．

正确答案

证明：由x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ（|r|≤1，0≤θ≤2π）．

①|x+y|=|rcosθ+rsinθ|=|r|．

∴|x+y|成立．

②|x2+2xy-y2|=|r2cos2θ+2r2sinθcosθ-r2sin2θ|=r2|cos2θ+sin2θ|=．

解析

证明：由x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ（|r|≤1，0≤θ≤2π）．

①|x+y|=|rcosθ+rsinθ|=|r|．

∴|x+y|成立．

②|x2+2xy-y2|=|r2cos2θ+2r2sinθcosθ-r2sin2θ|=r2|cos2θ+sin2θ|=．

题型：简答题

简答题

已知0＜x＜1，证明：．

正确答案

证明：由0＜x＜1，可得

-x==＞0，

即有＞x；

x-x2=x（1-x）＞0，即有x＞x2．

则有．

解析

证明：由0＜x＜1，可得

-x==＞0，

即有＞x；

x-x2=x（1-x）＞0，即有x＞x2．

则有．

题型：简答题

简答题

已知x，y，z均为正数．求证：．

正确答案

证明：因为x，y，z都是为正数，

所以 ①

同理可得

②

③

当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立．

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，

得：

解析

证明：因为x，y，z都是为正数，

所以 ①

同理可得

②

③

当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立．

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，

得：

题型：单选题

单选题

某同学证明+＜+的过程如下：∵-＞-＞0，∴＜，∴＜，∴+＜+，则该学生采用的证明方法是（　　）

A综合法

B比较法

C反证法

D分析法

正确答案

解析

解：从推理形式来看，从-＞-＞0入手，推出＜，

继而得到＜，最后得到+＜+，是“执因索果”，是综合法证明，

故选：A．

题型：简答题

简答题

设0＜x1＜x2＜．

（Ⅰ）证明：x1＞sinx1

（Ⅱ）x1sinx2cosx1＞x2sinx1cosx2．

正确答案

证明：（Ⅰ）令f（x）=x-sinx （0＜x＜），

∴f′（x）=1-cosx≥0，

∴f（x）=x-sinx （0＜x＜）为增函数，

∵0＜x1＜，

∴f（x1）＞f（0），即x1-sinx1＞0，

∴x1＞sinx1；

（Ⅱ）令g（x）=xcotx （0＜x＜），

则g′（x）=cotx-xcsc2x=＜0，

∴g（x）=xcotx （0＜x＜）为减函数，

∵0＜x1＜x2＜，

则，即x1sinx2cosx1＞x2sinx1cosx2．

解析

证明：（Ⅰ）令f（x）=x-sinx （0＜x＜），

∴f′（x）=1-cosx≥0，

∴f（x）=x-sinx （0＜x＜）为增函数，

∵0＜x1＜，

∴f（x1）＞f（0），即x1-sinx1＞0，

∴x1＞sinx1；

（Ⅱ）令g（x）=xcotx （0＜x＜），

则g′（x）=cotx-xcsc2x=＜0，

∴g（x）=xcotx （0＜x＜）为减函数，

∵0＜x1＜x2＜，

则，即x1sinx2cosx1＞x2sinx1cosx2．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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