热门试卷

解：（a+b）（）=+2

∵a、b∈（0，+∞），

∴均为正数，可得=2

因此，（a+b）（）=+2≥2+2=4

即（a+b）（）≥4

当且仅当a=b时，等号成立．

证明：由于x＞0，要证1+＞，

即证（1+）2＞1+x，

即证1+x+＞1+x，

即为＞0，显然成立．

则有当x＞0时，有1+＞成立．

解：（Ⅰ）∵对任意x∈R都有f（x）+f（-x）=4对任意x∈R恒成立，

∴f（0）=2，即m=1…（2分）

（Ⅱ）∵m=1，故f（x）=-x3+3x+2，

∴f′（x）=-3x2+3，令-3x2+3=0得：x1=-1，x2=1…（5分）

若-1＜x＜1，f′（x）＞0，若x＞1，f′（x）＜0，当x=1或x=-1，f′（x）=0，

∴f（x）=-x3+3x+2在（-1，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；

∴f（x）极大值=f（1）=4，

又f（-1）=1-3+2=0，

f（3）=-27+9+2=-16．

∴函数f（x）在[-1，3]上的最大值为4；…（8分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）得m=1，∴f（x）=-x3+3x+2=（1+x）2（2-x），…（10分）

由（Ⅱ）知，当x∈[0，3]时，（1+x）2（2-x）≤4，…（12分）

当a，b，c∈[0，+∞）且a+b+c=3时，0≤a≤3，0≤b≤3，0≤c≤3，

，，，

∴++≥++=[6-（a+b+c）]=…（14分）

证明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，

可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c取得等号）

由题设可得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，

即有3（ab+bc+ca）≤1，则ab+bc+ca≤；

（2）+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，

故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），

即有++≥a+b+c．（当且仅当a=b=c取得等号）．

故++≥1．