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题型:简答题
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简答题

若实数x、y、m满足|x-m|>|y-m|,则称x比y远离m.

(1)若x2-1比1远离0,求x的取值范围;

(2)对任意两个不相等的正数a、b,证明:a3+b3比a2b+ab2远离2ab

(3)已知函数f(x)的定义域D={{x|x≠+,k∈Z,x∈R}.任取x∈D,f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数f(x)的解析式,并指出它的基本性质(结论不要求证明).

正确答案

(1)根据定义可得:|x2-1|>1

∴x2-1>1或x2-1<-1

解得x∈(-∞,-)∪(.+∞)

(2)证明:欲证明a3+b3比a2b+ab2远离2ab

即证|a3+b3-2ab|>|a2b+ab2-2ab|,又任意两个不相等的正数a、b

即证|+-2|>|a+b-2|

由于a+b≥2+-(a+b)=>0

+>a+b>2

即证|+-2|>|a+b-2|成立

∴|a3+b3-2ab|>|a2b+ab2-2ab|

(3)由题意知f(x)=

性质:①函数是偶函数;

②周期T=

③在区间[++]k∈z是增函数,在[-+]k∈z是减函数

④最大值为1,最小值为

⑤定义域D={{x|x≠+,k∈Z,x∈R}

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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=

(Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,求正实数a的取值范围;

(Ⅱ)当a=1时,求函数f(x)在上的最大值和最小值;

(Ⅲ)当a=1时,对任意的正整数n>1,求证:,且不等式都成立.

正确答案

(I)解:由题设可得

∵函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,

∴当x∈[1,+∞)时,不等式恒成立.

∵当x∈[1,+∞)时,的最大值为1,

∴实数a的取值范围是[1,+∞);

(Ⅱ)解:当a=1时,

∴当时,f'(x)<0,于是f(x)在上单调递减;

当x∈(1,2]时,f'(x)>0,于是f(x)在(1,2]上单调递增.

综上所述,当x=1时,函数f(x)在上的最小值为f(1)=0,

时,函数f(x)在上的最大值为

(Ⅲ)证明:当a=1时,由(Ⅰ)知在[1,+∞)上是增函数

∴对于任意的正整数n>1,有,则

成立 

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题型:简答题
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简答题

已知:a>0,b>0,且a+b=1,求证:(1)+;(2)ab+

正确答案

证明:(1)要证+成立,

只要证:a+b+2≤2,

只要证:2≤1

∵a>0,b>0,

=,即2≤1成立,

+成立.…(4分)

(2)∵a>0,b>0,

=

∴0<ab≤,…(5分)

令t=ab(t∈(0,]),

则设y=ab+=t+,t∈(0,]

y′ =1-=

则当t∈(0,)时,y't<0恒成立,

∴y=t+在区间(0,)是减函数,…(8分)

∴当t=时,ymin=

∴y≥

即ab+.…(10分)

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题型:简答题
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简答题

(1)已知x<,求函数y=4x-2+的最大值

(2)已知a>0,b>0,c>0,求证:++≥a+b+c.

正确答案

(1)∵已知x<,函数y=4x-2+=4x-5++3=3-(5-4x+),

而由基本不等式可得 (5-4x)+≥2,当且仅当 5-4x=,即x=1时,等号成立,

故5-4x+的最小值为2,

故函数y=3-(5-4x+) 的最大值为 3-2=1.

(2)∵已知a>0,b>0,c>0,∴+≥2c,+≥2a,+≥2b,当且仅当a=b=c时,取等号.

把这三个不等式相加可得 2•+2•+2•≥2a+2b+2c,

++≥a+b+c成立.

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题型:简答题
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简答题

(Ⅰ)已知x>0,y>0,x+2y=1,求+的最小值.

(Ⅱ)已知a,b∈(0,+∞),求证:

正确答案

(I)∵x>0,y>0,且x+y=1,+=(x+y)( +)=3++≥3+2 =3+2

当且仅当 =时取等号.

+的最小值3+2

(II)要证:,只须证≤1,也只要证a+b≥2

根据基本不等式,而+b≥2显然成立,

成立.

百度题库 > 高考 > 数学 > 综合法与分析法证明不等式

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