- 综合法与分析法证明不等式
- 共468题
若实数x、y、m满足|x-m|>|y-m|,则称x比y远离m.
(1)若x2-1比1远离0,求x的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数a、b,证明:a3+b3比a2b+ab2远离2ab;
(3)已知函数f(x)的定义域D={{x|x≠+
,k∈Z,x∈R}.任取x∈D,f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数f(x)的解析式,并指出它的基本性质(结论不要求证明).
正确答案
(1)根据定义可得:|x2-1|>1
∴x2-1>1或x2-1<-1
解得x∈(-∞,-)∪(
.+∞)
(2)证明:欲证明a3+b3比a2b+ab2远离2ab
即证|a3+b3-2ab|>|a2b+ab2-2ab
|,又任意两个不相等的正数a、b
即证|+
-2
|>|a+b-2
|
由于a+b≥2,
+
-(a+b)=
>0
∴+
>a+b>2
即证|+
-2
|>|a+b-2
|成立
∴|a3+b3-2ab|>|a2b+ab2-2ab
|
(3)由题意知f(x)=
性质:①函数是偶函数;
②周期T=
③在区间[+
,
+
]k∈z是增函数,在[
-
,
+
]k∈z是减函数
④最大值为1,最小值为
⑤定义域D={{x|x≠+
,k∈Z,x∈R}
已知函数f(x)=.
(Ⅰ)若函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,求正实数a的取值范围;
(Ⅱ)当a=1时,求函数f(x)在上的最大值和最小值;
(Ⅲ)当a=1时,对任意的正整数n>1,求证:,且不等式
都成立.
正确答案
(I)解:由题设可得
∵函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,
∴当x∈[1,+∞)时,不等式即
恒成立.
∵当x∈[1,+∞)时,的最大值为1,
∴实数a的取值范围是[1,+∞);
(Ⅱ)解:当a=1时,
∴当时,f'(x)<0,于是f(x)在
上单调递减;
当x∈(1,2]时,f'(x)>0,于是f(x)在(1,2]上单调递增.
又
综上所述,当x=1时,函数f(x)在上的最小值为f(1)=0,
当时,函数f(x)在
上的最大值为
(Ⅲ)证明:当a=1时,由(Ⅰ)知在[1,+∞)上是增函数
∴对于任意的正整数n>1,有,则
,
∴
∴.
而,
成立
已知:a>0,b>0,且a+b=1,求证:(1)+
≤
;(2)ab+
≥
.
正确答案
证明:(1)要证+
≤
成立,
只要证:a+b+2≤2,
只要证:2≤1
∵a>0,b>0,
∴≤
=
,即2
≤1成立,
∴+
≤
成立.…(4分)
(2)∵a>0,b>0,
∴≤
=
,
∴0<ab≤,…(5分)
令t=ab(t∈(0,]),
则设y=ab+=t+
,t∈(0,
]
y′ =1-=
,
则当t∈(0,)时,y't<0恒成立,
∴y=t+在区间(0,
)是减函数,…(8分)
∴当t=时,ymin=
,
∴y≥
即ab+≥
.…(10分)
(1)已知x<,求函数y=4x-2+
的最大值
(2)已知a>0,b>0,c>0,求证:+
+
≥a+b+c.
正确答案
(1)∵已知x<,函数y=4x-2+
=4x-5+
+3=3-(5-4x+
),
而由基本不等式可得 (5-4x)+≥2,当且仅当 5-4x=
,即x=1时,等号成立,
故5-4x+的最小值为2,
故函数y=3-(5-4x+) 的最大值为 3-2=1.
(2)∵已知a>0,b>0,c>0,∴+
≥2c,
+
≥2a,
+
≥2b,当且仅当a=b=c时,取等号.
把这三个不等式相加可得 2•+2•
+2•
≥2a+2b+2c,
∴+
+
≥a+b+c成立.
(Ⅰ)已知x>0,y>0,x+2y=1,求+
的最小值.
(Ⅱ)已知a,b∈(0,+∞),求证:≤
.
正确答案
(I)∵x>0,y>0,且x+y=1,+
=(x+y)(
+
)=3+
+
≥3+2
=3+2
当且仅当 =
时取等号.
则 +
的最小值3+2
.
(II)要证:≤
,只须证
≤1,也只要证a+b≥2
,
根据基本不等式,而+b≥2显然成立,
故≤
成立.
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