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题型:简答题
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简答题

数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*

(1)计算a1,a2,a3,a4,由此猜想通项公式an,并用数学归纳法证明此猜想;

(2)若数列{bn}满足bn=2n-1an,求证:++…+

正确答案

解:(1)由Sn=2n-an(n∈N*),

可得a1=S1=2-a1,可得a1=1,

a2=S2-S1=4-a2-1,可得a2=

a3=S3-S2=6-a3-,可得a3=

a4=S4-S3=8-a4-,可得a4=

猜想得到an=

由数学归纳法可得.

当n=1时,a1=1,=1,成立;

设n=k时,ak=成立,

当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak

可得ak+1=(2+ak)=(2+)=

即有n=k+1也成立.

综上可得an=,对n为一切非零自然数成立.

(2)证明:bn=2n-1an=2n-1,

即证1++++…+

-

等价于:2k+1-2<2k+1-1;

所以:①当n=1时,原不等式成立,

②当n≥2时,1+++…+≤1+(-)+(-)+…+(-

=1+-=-

即有不等式成立.

解析

解:(1)由Sn=2n-an(n∈N*),

可得a1=S1=2-a1,可得a1=1,

a2=S2-S1=4-a2-1,可得a2=

a3=S3-S2=6-a3-,可得a3=

a4=S4-S3=8-a4-,可得a4=

猜想得到an=

由数学归纳法可得.

当n=1时,a1=1,=1,成立;

设n=k时,ak=成立,

当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak

可得ak+1=(2+ak)=(2+)=

即有n=k+1也成立.

综上可得an=,对n为一切非零自然数成立.

(2)证明:bn=2n-1an=2n-1,

即证1++++…+

-

等价于:2k+1-2<2k+1-1;

所以:①当n=1时,原不等式成立,

②当n≥2时,1+++…+≤1+(-)+(-)+…+(-

=1+-=-

即有不等式成立.

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题型:简答题
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简答题

求证:

(Ⅰ)已知a,b,c∈R,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca

(Ⅱ)若a>0,b>0,且a+b=1,求证:+≥4.

正确答案

证明:(I)由(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0,

即有2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≥0,

即为a2+b2+c2≥ab+bc+ca;

(II)由a>0,b>0,且a+b=1,

可得=4,

当且仅当a=b=,取得等号.

解析

证明:(I)由(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0,

即有2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≥0,

即为a2+b2+c2≥ab+bc+ca;

(II)由a>0,b>0,且a+b=1,

可得=4,

当且仅当a=b=,取得等号.

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题型:简答题
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简答题

≤x≤2,求证:2++<8.

正确答案

证明:由柯西不等式可得,

(2++2≤(22+12+12)(x+1+2x-3+6-3x)

=6×4,

即有2++≤2<8.

≤x≤2时,不等式2++<8.

解析

证明:由柯西不等式可得,

(2++2≤(22+12+12)(x+1+2x-3+6-3x)

=6×4,

即有2++≤2<8.

≤x≤2时,不等式2++<8.

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简答题

(1)已知a>0,b>0,c>0,d>0.求证:+≥4;

(2)已知a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,证明:++≤3.

正确答案

证明:(1)+=+++=(+)+(+)≥2+2=4(当且仅当a=b,c=d时,取“=”),故+≥4.

(2)∵a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,

++++=3(当且仅当a=b=c=时等号成立).

解析

证明:(1)+=+++=(+)+(+)≥2+2=4(当且仅当a=b,c=d时,取“=”),故+≥4.

(2)∵a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,

++++=3(当且仅当a=b=c=时等号成立).

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简答题

证明下列各题:

(1)证明:不可能成等差数列;

(2)已知x,y,a,b都是实数,且x2+y2=1,a2+b2=1,求证:|ax+by|≤1.

正确答案

证明:(1)假设可能成等差数列.…(2分)

两边平方,得20=10+2,…(5分)

则25=21,显然等式不成立.…(8分)

不可能成等差数列.…(10分)

(2)要证|ax+by|≤1

需证|ax+by|2=a2x2+2abxy+b2y2≤1.…(14分)

∵x2+y2=1,a2+b2=1∴1=(x2+y2)(a2+b2)=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2≥a2x2+b2y2+2abxy…(19分)

故|ax+by|≤1.…(20分)

解析

证明:(1)假设可能成等差数列.…(2分)

两边平方,得20=10+2,…(5分)

则25=21,显然等式不成立.…(8分)

不可能成等差数列.…(10分)

(2)要证|ax+by|≤1

需证|ax+by|2=a2x2+2abxy+b2y2≤1.…(14分)

∵x2+y2=1,a2+b2=1∴1=(x2+y2)(a2+b2)=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2≥a2x2+b2y2+2abxy…(19分)

故|ax+by|≤1.…(20分)

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