- 综合法与分析法证明不等式
- 共468题
数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*)
(1)计算a1,a2,a3,a4,由此猜想通项公式an,并用数学归纳法证明此猜想;
(2)若数列{bn}满足bn=2n-1an,求证:+
+…+
<
.
正确答案
解:(1)由Sn=2n-an(n∈N*),
可得a1=S1=2-a1,可得a1=1,
a2=S2-S1=4-a2-1,可得a2=,
a3=S3-S2=6-a3-,可得a3=
,
a4=S4-S3=8-a4-,可得a4=
,
猜想得到an=,
由数学归纳法可得.
当n=1时,a1=1,=1,成立;
设n=k时,ak=成立,
当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak,
可得ak+1=(2+ak)=
(2+
)=
,
即有n=k+1也成立.
综上可得an=,对n为一切非零自然数成立.
(2)证明:bn=2n-1an=2n-1,
即证1++
++…+
<
.
由<
-
,
等价于:2k+1-2<2k+1-1;
所以:①当n=1时,原不等式成立,
②当n≥2时,1++
+…+
≤1+(
-
)+(
-
)+…+(
-
)
=1+-
=
-
<
.
即有不等式成立.
解析
解:(1)由Sn=2n-an(n∈N*),
可得a1=S1=2-a1,可得a1=1,
a2=S2-S1=4-a2-1,可得a2=,
a3=S3-S2=6-a3-,可得a3=
,
a4=S4-S3=8-a4-,可得a4=
,
猜想得到an=,
由数学归纳法可得.
当n=1时,a1=1,=1,成立;
设n=k时,ak=成立,
当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak,
可得ak+1=(2+ak)=
(2+
)=
,
即有n=k+1也成立.
综上可得an=,对n为一切非零自然数成立.
(2)证明:bn=2n-1an=2n-1,
即证1++
++…+
<
.
由<
-
,
等价于:2k+1-2<2k+1-1;
所以:①当n=1时,原不等式成立,
②当n≥2时,1++
+…+
≤1+(
-
)+(
-
)+…+(
-
)
=1+-
=
-
<
.
即有不等式成立.
求证:
(Ⅰ)已知a,b,c∈R,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca
(Ⅱ)若a>0,b>0,且a+b=1,求证:+
≥4.
正确答案
证明:(I)由(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0,
即有2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≥0,
即为a2+b2+c2≥ab+bc+ca;
(II)由a>0,b>0,且a+b=1,
可得=4,
当且仅当a=b=,取得等号.
解析
证明:(I)由(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0,
即有2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≥0,
即为a2+b2+c2≥ab+bc+ca;
(II)由a>0,b>0,且a+b=1,
可得=4,
当且仅当a=b=,取得等号.
设≤x≤2,求证:2
+
+
<8.
正确答案
证明:由柯西不等式可得,
(2+
+
)2≤(22+12+12)(x+1+2x-3+6-3x)
=6×4,
即有2+
+
≤2
<8.
则≤x≤2时,不等式2
+
+
<8.
解析
证明:由柯西不等式可得,
(2+
+
)2≤(22+12+12)(x+1+2x-3+6-3x)
=6×4,
即有2+
+
≤2
<8.
则≤x≤2时,不等式2
+
+
<8.
(1)已知a>0,b>0,c>0,d>0.求证:+
≥4;
(2)已知a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,证明:+
+
≤3.
正确答案
证明:(1)+
=
+
+
+
=(
+
)+(
+
)≥2+2=4(当且仅当a=b,c=d时,取“=”),故
+
≥4.
(2)∵a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,
∴+
+
≤
+
+
=3(当且仅当a=b=c=
时等号成立).
解析
证明:(1)+
=
+
+
+
=(
+
)+(
+
)≥2+2=4(当且仅当a=b,c=d时,取“=”),故
+
≥4.
(2)∵a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,
∴+
+
≤
+
+
=3(当且仅当a=b=c=
时等号成立).
证明下列各题:
(1)证明:、
、
不可能成等差数列;
(2)已知x,y,a,b都是实数,且x2+y2=1,a2+b2=1,求证:|ax+by|≤1.
正确答案
证明:(1)假设、
、
可能成等差数列.…(2分)
则,
两边平方,得20=10+2,…(5分)
即,
则25=21,显然等式不成立.…(8分)
故、
、
不可能成等差数列.…(10分)
(2)要证|ax+by|≤1
需证|ax+by|2=a2x2+2abxy+b2y2≤1.…(14分)
∵x2+y2=1,a2+b2=1∴1=(x2+y2)(a2+b2)=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2≥a2x2+b2y2+2abxy…(19分)
故|ax+by|≤1.…(20分)
解析
证明:(1)假设、
、
可能成等差数列.…(2分)
则,
两边平方,得20=10+2,…(5分)
即,
则25=21,显然等式不成立.…(8分)
故、
、
不可能成等差数列.…(10分)
(2)要证|ax+by|≤1
需证|ax+by|2=a2x2+2abxy+b2y2≤1.…(14分)
∵x2+y2=1,a2+b2=1∴1=(x2+y2)(a2+b2)=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2≥a2x2+b2y2+2abxy…(19分)
故|ax+by|≤1.…(20分)
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