- 等差中项
- 共113题
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c。
（1）若对任意x1，x2∈R，且都有f（x1）≠f（x2），求证：关于x的方程f（x）=
（2）若关于x的方程f（x）=
正确答案
解：（1）∵
∴
整理得
∴
∵
∴
故它们中至少有一个不是0
∴Δ>0，故方程有两个不相等的实数根
令
则
又
则
故方程
（2）∵方程
∴
∴
∴
∴
故
在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为，b，c，且A，B，C成等差数列，，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形。
正确答案
证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C， ①
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π， ②
由①②得，B=
由，b，c成等比数列，有b2=c， ④
由余弦定理及③，可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac，
再由④，得a2+c2-ac=ac，
即(a-c)2=0，因此a=c，
从而A=C， ⑤
由②③⑤，得A=B=C=
所以△ABC为等边三角形。
已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和，
（Ⅰ）当S1、S3、S4成等差数列时，求q的值；
（Ⅱ）当Sm、Sn、Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am+k、an+k、al+k也成等差数列。
正确答案
解：（1）由已知，
化简得
（Ⅱ）若q=1，则{an}的每项an=a，此时
若
整理得
所以am+k，an+k，al+k也成等差数列。
已知数列{an}是首项为1，公比为q（q>0）的等比数列，并且2a1，a3，a2成等差数列。
（1）求q的值；
（2）若数列{bn}满足bn=an+n，求数列{bn}的前n项和Tn。
正确答案
解：（1）由a3=2a1+a2，得q2=2+q
∴q=2，q=-1（舍去）
∴an=1×2n-1=2n-1。
（2）∵an=2n-1，
∴bn=2n-1+n
∴Tn=（1+2+22+23+…+2n-1）+（1+2+3+…+n）=2n-1+
已知各项均为正数的数列{an}满足an+12-an+1an-2an2=0，且a3+2是a2，a4的等差中项。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=an
正确答案
解：（1）∵
∴
∵数列{an}的各项均为正数，
∴
∴
即
所以数列{an}是以2为公比的等比数列
∵
∴
∴
∴
∴数列{an}的通项公式an=2n；
（2）由（1）及
∵
∴
∴
①-②得
要使
即
使
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